Подпоследовательность сходящейся последовательности

1

n

Журнал D

2

(L

ω

(n)

), мы видим, что

1

n

Журнал D

2

(L

ω

(n)

) → − ∞ для P

p

-a.e. ω.

Это устанавливает, согласно лемме 12(c), что λ

2

= − ∞. Напомним из
[12, Теорема 13]), что исключительные показатели Ляпунова коцикла
и его сопряженного совпадают. Отметим, что φ (f) = f, ˆ

e

− 1

удовлетворяет φ (f) =

φ (L

ω

F), так что (L

ω

)

∗

φ = φ. Следовательно, λ

1

= λ

∗
1

= 0. Мы вкратце объясним
, как идентифицировать семейство эквивариантных функций, или топовых
пространств Оселедецов V

1

(ω) для L. Для ω ∈ Ω и t = (t

n

)

n ∈ Z

−

∈ Р

Z

−

, мы определяем

Φ (ω, t) = lim

k → ∞

R

2π т

− 1

T

σ

− 1

ω

◦ · · · ◦ R

2π т

− к

T

σ

− к

ω

(0),

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

25

Где R

θ

(z) = e

i θ

Z. Существование предела следует из следствия 14.

Эквивариантная функция затем задается

f

ω

(z) =

R

Z

−

1

z − Φ (ω, t)

−

1

z − I(Φ (ω, t))

d Γ (t),

где Γ - мера на R

Z

−

Где каждая координата является независимой -

Вмятина стандартной нормальной случайной величины. Доказательством того, что Я

ω

f

ω

= f

σω

по существу следует из леммы 19 и следствия 20. Поскольку диапазон
Φ содержится в D

r

, легко видеть, что f

ω

Лежит в H

2

(А

R

) для всех
ω ∈ Ω.

5.2. Равномерные возмущения. Теперь мы рассмотрим другую возмущенную
версию коцикла, где L

i

Заменяется на L

У,
я

:= U ◦ L

i

, где

U

R/Z

Имеет эффект свертки плотности с функцией удара

поддержка [ −, ]. На R/Z у нас есть

(У

R/Z

f)(x) =

1

2

−

f (x − t) dt =

1
2

1

− 1

f (x − t) dt = Ef (x + U),

где U- равномерно распределенная случайная величина на [-1, 1].
Соответствующий сопряженный оператор на C(C

1

) является U:= U

C

1

= Q

− 1

U

R/Z

Q,

Где Q, как в лемме 9. Расчет показывает

(U f)(z) =

1
2

1

− 1

F (ze

− 2 ни т

)e

− 2 ни т

Dt.

Как и прежде, мы позволили ˆ

e

n

(z) = z

n − 1

и вычислить, для n ∈ Z \ {0}

U (ˆ

e

n

)(z) =

1
2

1

− 1

ˆ

e

n

(ze

− 2 ни т

)e

− 2 ни т

dt

=

z

n − 1

2

1

− 1

e

− 2nin t

dt

=

Грех (2nn)

Nn

ˆ

e

n

(z).

Кроме того, U (ˆ

e

0

)(z) = ˆ

e

0

(z). Следовательно, у нас есть, для

∈ Z \ {0},

(L

У,
0

)

n

ˆ

e =

(2 нм)

− н

2

− n(n − 1)/2

n
j=1

Грех (2

j

мн) ˆ

e

m

Если

= 2

n

m;

0

Иначе.

Доказательство следствия 4. Пусть

= b/2

k

, для некоторого нечетного целого числа b и k ∈ N.

Затем, для каждого

∈ Z \ {0} и n ≥ k мы получаем, что (L

У,
0

)

n

ˆ

e = 0. Этот

Сразу следует, что (L

У,
0

)

n

|

H

2

0

(А

R

)

= 0, и поэтому λ

2

(L

U,
ω

) = − ∞.

Тот факт, что λ

1

(L

U,
ω

) = 0 следует точно так же, как в следствии 3.

26

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Стабильность спектра Ляпунова

Естественно спросить о базовом объяснении неустойчивости
спектра Ляпунова, представленном в следствиях 3 и 4. Из
конечномерной теории гиперболических динамических систем мы знаем
, что ключевой проблемой устойчивости является управление углом между быстрым
и медленным подпространствами. В общем, различные версии
Мультипликативной эргодической теоремы показывают, что для пространств Оселедец с различными
показателями угол между подпространствами ограничен от 0, по крайней
мере, величиной, которая в худшем случае субэкспоненциально мала в n,
количество итераций. В равномерно гиперболической ситуации этот угол
равномерно ограничен от 0.

Одним из способов количественной оценки угла между дополнительными замкнутыми
подпространствами, который особенно хорошо подходит для бесконечномерного случая
, является вычисление Π

E F

, где Π

E F

является проекцией, которая фиксирует E и
уничтожает F: для гильбертовых пространств норма проекции является
обратной величиной синуса угла между пространствами. (
Альтернативный способ измерения углов см. в [12]).

Имея это в виду, мы изучаем Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

Где E

k

(ω) - это промежуток

векторов Оселедец с показателями λ

1

,..., λ

k

И F

k

(ω) - это

дополнительное пространство векторов, расширяющихся со скоростью λ

к +1

или медленнее
((2k − 1)- мерное быстрое пространство и (2k − 1)- кодовое медленное
пространство соответственно).

Для невозмущенного коцикла, фигурирующего в следствиях 3 и 4, мы

утверждают, что Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

существенно неограничен по ω. Чтобы увидеть это, позвольте

σ - карта сдвига на {0, 1}

Z

Оснащен вероятностью Бернулли

Мера, Р

p

И (L

ω

) как и раньше. Установите h

ω

(z) = (z − x

ω

)

− 2

и g(z) = z

− 2

.

Обратите внимание, что если ω

0

= 0, то L

ω

g = 0 (см. (2)), так что g ∈ F

2

(ω).

Также ч

ω

∈ E

2

(ω) по лемме 24, и если ω

− н

=... = ω

− 1

= ω

0

=

Затем x

ω

≤ a

2

n

, где а В частности

Ess inf

ω

h

ω

− g = 0. Однако, поскольку Π

E

2

(ω) F

2

(ω)

(h

ω

− g) = h

ω

и

h

ω

ограничена от 0, мы видим, что Π

E

2

(ω) F

2

(ω)

существенно
неограничен для коцикла, так что быстрое и медленное пространства становятся
произвольно близкими.

Суть проблемы заключается в том, что ядро L

0

Включает все четные целые числа

степени (z − 0) (0- критическая точка T

0

) в то время как комбинации

отрицательных степеней (z − x

ω

) появляются в быстрых пространствах. Чтобы избежать
описанной выше ситуации, следует рассмотреть ситуации, в которых критическая
точка (точки) T

ω

Ограничены от случайной неподвижной точки x

ω

Мы

наложите это, приняв нижнюю границу |T

ω

(x

ω

)|.

В этом разделе мы покажем, что если мы введем условие, что |T

ω

(x

ω

)|

ограничена ниже, то проекции Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

Равномерно ограничены,