Обозначим оператор Перрона - Фробениуса T

ω

, действуя на

Гильбертово пространство H

2

(А

R

) на кольцевом пространстве А

R

: = {z: R < |z| < 1/R}.

Затем коцикл становится компактным и выполняется следующее удержание:

(1) (Случайная Фиксированная Точка). Существует измеримое отображение x: Ω →

D

r

(с x(ω), записанным как x

ω

), такой, что T

ω

(x

ω

) = x

σ (ω)

Для всех

z ∈ D

R

, Т

(N)

σ

− Н

ω

(z):= T

σ

− 1

ω

◦ · · · ◦ Т

σ

− Н

ω

(z) → x

ω

;

(2) (Критическая Случайная Фиксированная Точка) Если P({ ω: T

ω

(x

ω

) = 0}) > 0, тогда >
спектр Ляпунова коцикла равен 0 с кратностью 1;
и − ∞ с бесконечной кратностью.

(3) (Общий случай) Если P({ ω: T

ω

(x

ω

) = 0}) = 0, затем определите Λ =

журнал | Т

ω

(x

ω

)| dP(ω). Это удовлетворяет Λ ≤ log(r/R)

Если Λ = − ∞, то спектр Ляпунова коцикла равен 0

с кратностью 1; и − ∞ с бесконечной кратностью.

Если Λ > − ∞, то спектр Ляпунова коцикла равен >
0 с кратностью 1; и n Λ с кратностью 2 для каждого n ∈
N. Пространство Оселедец с показателем 0 охватывает 1/(z −
x

ω

) − 1/(z − 1/

x

ω

). Пространство Оселедец с показателем j Λ
ограничено двумя функциями, одна из которых представляет собой линейную комбинацию 1/(z −
x

ω

)

2

,..., 1/(z − x

ω

)

j+1

с полюсом порядка j +1 в точке x

ω

; другой

Линейная комбинация z

к− 1

/(1 − ¯

x

ω

z)

к +1

для k = 1,..., j с

полюс порядка j + 1 в 1/

x

ω

.

Следствие 2. Пусть Ω = {0, 1}

Z

, σ - карта сдвига, а P

p

Быть тем

Мера Бернулли, где P([0]) = p. Пусть L

0

Быть Перроном - Фробениусом

Оператор T

0

: z → z

2

И Я

1

Быть оператором Перрона - Фробениуса для

6

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

T

1

: z → [(z +

1
4

)/(1 +

z
4

)]

2

И рассмотрим коцикл оператора, созданный

По L

ω

:= L

ω

0

, действуя по Ч.

2

(А

R

), где R удовлетворяет r

T

(R)

А) Если р

1
2

, то коцикл имеет счетно бесконечное число конечных

Показатели Ляпунова;

(b) Если p ≥

1
2

, то λ

1

= 0 и все остальные показатели Ляпунова

являются − ∞.

Мы определяем оператор на H

2

(А

R

)

(N f)(z) =

1

√

2π

∞

− ∞

F (ze

− 2 ни т

)e

− 2 ни т−т

2

/2

Dt.

Ниже мы покажем, что этот оператор соответствует оператору
функций на R/Z, заданному N

R/Z

f (x) = Ef (x + N), где N- стандартный

Нормальная случайная величина. То есть, N

R/Z

Действует в отношении плотности путем конвоирования -

Люция с гауссовым с дисперсией

2

Пусть L

ω

Будьте коциклом в

Теорему выше и рассмотрим возмущение L

ω

Л

ω

Дано

L

ω

= N ◦ L

ω

.

Следствие 3 (Коллапс спектра Ляпунова). Пусть Ω = {0, 1}

Z

, оборудованный

с помощью карты σ и измерения P

p

как и выше. Если p ≥

1
4

, возмущенный коцикл

(L

ω

)

ω ∈ Ω

имеет λ

1

= 0 и λ

j

= − ∞ для всех j > 1.

В частности, если

1
4

≤ p

1
2

, то невозмутимый коцикл имеет связь -

Полный спектр Ляпунова, но для каждого

> 0, спектр Ляпунова

Рушится.

Аналогично, мы определяем L

У,
я

:= U ◦ L

i

, где U

R/Z

Свертки плотности

с функцией удара интеграла 1, поддерживаемой на [ −, ],

(U f)(z) =

1
2

1

− 1

F (ze

− 2 ни т

)e

− 2 ни т

Dt.

Следствие 4. Пусть Ω = {0, 1}

Z

, оснащенный картой σ и измерением

P

p

как и в следствии 2. Для каждого p > 0 существуют сколь угодно малые значения

От

Для которого возмущенный коцикл (L

U,
ω

)

ω ∈ Ω

имеет λ

1

= 0 и λ

j

= − ∞

для всех j > 1.

Приведенные выше следствия дают простые явные примеры и
возмущения коциклов Перрона - Фробениуса, для которых спектр Ляпунова
коллапсирует. Сейчас мы даем общие условия для стабильности и нестабильности.

Теорема 5 (Устойчивость спектра Ляпунова). Пусть σ - эргодическое
обратимое преобразование с сохранением меры (Ω, P). Пусть R < 1 и
пусть T = (T

ω

)

ω ∈ Ω

Быть коциклом продукта Блашке, удовлетворяющим r

T

(R)

(a) Предположим, что ess inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)| > 0.

Тогда, если (L

ω

) является ли Перрон -

Коцикл Фробениуса (T

ω

) и (L

ω

) является семейством Перрона - Фробениуса

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

7

Коциклы, такие, что ess поддерживает

ω

L

ω

− Я

ω

→ 0 как

→ 0, затем

µ

k

→ µ

k

Как

→ 0, где (µ

k

) является последовательностью Ляпунова, например -

Поненты (L

ω

), перечисленные с кратностью и (µ

k

) - это последовательность

Показателей Ляпунова (L

ω

).

(b) Предположим, что ess inf

ω

| Т

ω

(x

ω

)| = 0. Тогда существует семейство

Коциклы продукта Блашке T = (T

ω

)

ω ∈ Ω

Такой, что эсс поддерживает

ω

L

T

ω

−

L

T

ω

→ 0 как

→ 0 с тем свойством, что выставка Ляпунова -

Значения (L

T

ω

) равны 0 с кратностью 1 и − ∞ с бесконечным

Множественность для всех

> 0.

Замечание 1. Как следствие части (а), из [7] следует, что
пространства Оселедец также сходятся по вероятности к пространствам невозмущенного
коцикла. Фактически, аргументы конуса, используемые здесь, позволяют нам сделать
более сильный вывод о том, что пространства Оселедец сходятся по существу
равномерно в ω к пространствам невозмущенного коцикла.

Замечание 2. Обратите внимание, что часть (а) допускает довольно общие возмущения
коцикла Перрона - Фробениуса, в то время как часть (б) показывает, что если случайная
неподвижная точка имеет неограниченное сжатие, существуют контрпримеры даже
в классе операторов Перрона - Фробениуса произведений Блашке.
Для этих контрпримеров соответствующие продукты Blaschke
удовлетворяют требованиям ess

ω

Максимум

з ∈

D

1

| Т

ω

(z) − T

ω

(z)|

Пусть Блашке

R

(Ω) обозначим множество измеримых отображений T: ω → T

ω

от Ω до коллекции продуктов Блашке, таких что r

T

(R)

Оборудовать Блашке

R

(Ω) с расстоянием d(T, S) = ess sup

ω

Максимум

з ∈

D

1

| Т

ω

(z) −

S

ω

(z)| (что, по принципу максимума, совпадает с ess sup

ω

Максимум

z ∈ C

1

| Т

ω

(z) −

S

ω

(z)|). Мы говорим, что Т ∈ Блашке

R

(Ω) устойчива, если применяются условия
теоремы 5(а).

Следствие 6. Пусть σ - обратимое эргодическое
преобразование с сохранением меры (Ω, P). Стабильные коциклы продукта Блашке образуют открытое
плотное подмножество Блашке

R

(Ω).

Следующая теорема позволяет нам проанализировать спектр Ляпунова
коциклов Перрона - Фробениуса произведений Блашке, действующих на более грубых
банаховых пространствах, чем H

2

(А

R

).

Теорема 7. Пусть R = (Ω, P, σ, X, L) - случайная линейная динамическая
система, пусть X- плотное подпространство X, снабженное более тонкой нормой, такой
, что L

ω

(X) ⊂ X для a.e. ω. Пусть R = (Ω, P, σ, X, L|

X

) будет
ограничением от R до X. Предположим, что R и R оба удовлетворяют условиям
теоремы 11 (Мультипликативной эргодической теоремы). Тогда исключительные
показатели Ляпунова R и R, превышающие max(κ (R), κ (R))
, совпадают, как и соответствующие пространства Оселедец.

8

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Предыстория

Напомним, что a (конечная) Продукт Blaschke- это карта из ˆ

C к себе из

форма:

T (z) = ζ

n

j=1

z − ζ

j

1 − ¯

ζ

j

z

,

где ζ

j

’s лежат в D, открытый диск блока и | ζ | = 1. Мы говорим, что функция
от Ω в набор продуктов Блашке измерима, если каждый
из параметров, n, ζ, ζ

1

,..., ζ

n

является борелевской измеримой функцией от ω.

Отметим также, что если S(z) = ξ

n
j=1

(z − ξ

j

)(1 − ¯

ξ

j

z)

− 1

и (ξ, ξ

1

,..., ξ

n

)

достаточно близко к (ζ, ζ

1

,..., ζ

n

), затем макс

z ∈ C

1

|S(z) − T (z)|

Мы записываем следующее:

Лемма 8 (Свойства конечных продуктов Блашке). Пусть T
- продукт Блашке. Затем

(a) T (C

1

) = C

1

;

(b) T ◦ I = I ◦ T, где I - карта инверсии I(z) = 1/

z;

(c) T карты D

1

к себе (и, следовательно, T отображает ˆ

C \

D

1

к себе);

В дальнейшем,

(d) если T- непостоянное отображение замкнутого единичного диска на себя

это аналитично внутри и отображает границу на саму себя,
тогда T - конечное произведение Блашке.

(e) Состав двух конечных продуктов Блашке снова является конечным

Продукт Блашке.

Нас интересуют конечные продукты Блашке, ограничение которых на
единичный круг расширяется. Простое достаточное условие для этого, а именно
, что

n
j=1

1 − | ζ

j

|

1+| ζ

j

|

> 1, можно найти в работе Мартина [18].

Пусть π (x) = e

Nix