Быть ортогональной проекцией из H

2

(А

R

)

−

На U

−

k

.

Теперь рассмотрим операторы Λ

(n)
ω,k

= (L

(n)
ω

|

U

−

k

)

− 1

◦ Π

− к

◦ L

(n)
ω

Мы пишем

Λ

(n)
ω,k

= (L

ω

|

U

−

k

)

− 1

◦ (L

(n − 1)
σω

|

U

−

k

)

− 1

◦ Π

− к

◦ L

(n − 1)
σω

◦ L

ω

.

По (4) матрица, представляющая ограниченный оператор (L

(n − 1)
σω

|

U

−

k

)

в отношении оснований ˆ

e

− 1

,..., ˆ

e

− (к− 1)

; и ˆ

e

− 1

,..., ˆ

e

− (к− 1)

Может быть

факторизовано как DA, где D- диагональная матрица с записями (λ

(n − 1)
σω

)

j

для j = 1,..., k − 1 и A- верхняя треугольная матрица с единицами
по диагонали и записями с абсолютным значением, ограниченным сверху
c

2

выше диагонали для а. е. ω. Конечно, у нас есть (DA)

− 1

=

A

− 1

D

− 1

, и, исходя из вышесказанного, A

− 1

Имеет равномерно ограниченные записи, и

матрица B = (b

ij

)

1≤i≤k − 1;j ∈ N

От

L

(n − 1)
σω

|

U

−

k

− 1

Π

− к

L

(n − 1)
σω

является ли B =

A

− 1

D

− 1

П Л

(n − 1)

, где P − (k- 1) × ∞ матрица с единицами на

Диагональ и остальные записи 0 и L

(n − 1)

Является матрицей из

L

(n − 1)
σω

Объединив (4) с выражением для D, мы получим постоянную

30

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

c

3

так что для a.e. ω и всех n, |b

ij

| ≤ c

3

для 1 ≤ i ≤ k − 1 и j ∈ N.

(Обратите внимание, что c

3

Действительно зависит от k).

Пусть r < ρ

4

Такие, что

L

ω H

2

(А

R

) → H

2

(А

ρ

)

≤ c

4

для почти всех ω ∈ Ω. Теперь, если f ∈ H

2

(А

R

)

−

Удовлетворяет f

H

2

(А

R

)

= 1, у нас есть L

ω

f

H

2

(А

ρ

)

≤ c

4

, так что по Лемме

29, для j > 0 коэффициент ˆ

e

− дж.

В расширении L

ω

F- это не более

c

4

(

ρ

R

)

j

.

Сочетая это с оценкой для b

ij

выше мы видим, что ˆ

e

− я

Ко -

Эффективный из (L

(n − 1)
σω

|

U

−

k

)

− 1

Π

σ

n

ω,k

L

(n)
ω

F ограничен сверху c

3

c

4

∞
j=i

(

ρ

R

)

j

=

c

3

c

4

(

ρ

R

)

i

/(1 −

ρ

R

). С тех пор (L

ω

|

U

−

k

)

− 1

существенно равномерно ограничен в
ω (так как он является верхним треугольником с равномерно ограниченными входами и
имеет диагональные элементы, равномерно ограниченные от 0), мы выводим
операторы Λ

(n)
ω,k

равномерно ограничены в n и ω (но не в k), скажем

Λ

(n)
ω,k

≤ M для всех ω ∈ Ω и n ∈ N. Это немедленно, что Λ

(n)
ω,k

f = f

для всех ф ∈ У

−

k

и это нетрудно проверить из определения Λ

(n)
ω,k

это...

(n)
ω,k

f → 0 для f ∈ V

−

k

(ω). Следовательно, Λ

(n)
ω,k

Сильно сходится к

Π

U

−

k

V

−

k

(ω)

, так что Π

U

−

k

V

−

k

(ω)

≤ M.

Мы определяем дополнительные пространства: U

+

k

= L

Я

U

−

k

, В

+

k

(ω) = L

Я

V

−

k

(ω) и

W

0

= лин ({ ˆ

e

0

}). Так Как L

Я

Ездит на работу с L

ω

, в L

ω

Равнозначность

U

+

k

Подразумевает, что из U

−

k

и аналогично эквивариантность V

+

k

(ω) следует из

Что из В

−

k

(ω). Эквивариантность W

0

Было отмечено в следствии 20 (примечание

Что х

ω

= 0 для рассматриваемых нами коциклов). С тех пор, как Ч.

2

(А

R

)

+

=

L

Я

(H

2

(А

R

)

−

), мы видим, что H

2

(А

R

)

+

= U

+

k

⊕ В

+

k

(ω).

Следствие 31. Существует M > 0 такое, что Π

U

+

k

V

+

k

(ω)

≤ M для
всех ω ∈ Ω.

Доказательство. Мы можем проверить, что Π

U

+

k

V

+

k

(ω)

= L

Я

◦ Π

U

−

k

V

−

k

(ω)

◦ L

Я

С Л

Я

Ограничен, результат следующий.

Далее, пусть E

k

(ω) = U

−

k

⊕ W

0

⊕ ЕД

+

k

И F

k

(ω) = V

−

k

(ω) ⊕ V

+

k

(ω).
Это (2k − 1)- мерное и (2k − 1)- коразмерное быстрое
и медленное пространства для коцикла соответственно.

Мы наблюдаем, что Π

0

:= Π

W

0

H

2

(А

R

)

±

Это просто ортогональная проекция

На W

0

, так что Π

W

0

H

2

(А

R

)

±

= 1.

Следствие 32. Существует M > 0 такое, что для всех ω ∈ Ω Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

≤
M.

Доказательство. У нас есть

Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

= Π

0

+ Π

U

−

k

V

k

(ω)

−

◦ Q

−

+ Π

U

+

k

V

k

(ω)

+

◦ Q

+

.

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

31

Поскольку все операторы, появляющиеся справа, равномерно ограничены
в ω, то и Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

.

6.2. Инвариантное конусообразное поле. В этом подразделе мы покажем, что
вокруг E имеется конус

k

(ω) привлечение окрестности в H

2

(А

R

).

Рассмотрим конус

C

ω, η

= {f ∈ H

2

(А

R

): Π

F

k

(ω) E

k

(ω)

f ≤ η Π

E

k

(ω) F

k

(ω)

f }.

Лемма 33. Пусть σ - эргодическое обратимо сохраняющее меру
преобразование (Ω, P) и пусть коцикл произведения Блашке удовлетворяет условиям
(а), (б) и (в). Тогда для каждого k ∈ N существует N такое, что для
каждого n ≥ N и т. Е. ω ∈ Ω, L

(n)
ω

(C

ω, η

) ⊂ C

σ

n

ω,

η
2

для всех η > 0.

Доказательство. Пусть Π

− к

Быть, как в доказательстве леммы 30, ортогональной проекцией -

нии на линь (ˆ

e

− 1

,..., ˆ

e

− (к− 1)

), и пусть Π

k

Быть ортогональной проекцией

на линь (ˆ

e

1

,..., ˆ

e

к− 1

). Давайте

k

= Π

− к

+ Π

k

и пусть Π

0

Будьте ортогональными

проекция на линь (ˆ

e

0

).

Мы делаем следующие заявления:

(i) Существует постоянная K > 0 такая, что для a.e. ω ∈ Ω, n ∈ N

и ф ∈ У

−

k

, Л

(n)
ω

f ≥ K(λ

(n)
ω

)

к− 1

f;

(ii) Существует с

5

> 0 такое, что для a.e. ω ∈ Ω, n ∈ N и

f ∈ E

k

(ω), L

(n)
ω

f ≥ c

5

(λ

(n)
ω

)

к− 1

f;

(iii) Существуют c > 0 и n

0

∈ N такое, что для a.e. ω ∈ Ω, n ≥ n

0

и f ∈ H

2

(А

R

)

−

, (I − Π

− к

) Л

(n)
ω

f ≤ c(λ

(n)
ω

)

k

f.

(iv) Существуют c

6

> 0 и n

0

∈ N таких, что, например, для ω ∈ Ω, n ≥ n

0

и f ∈ H

2

(А

R

)

±

, (I − S

k

)L

(n)
ω

f ≤ c

6

(λ

(n)
ω

)

k

f.

Чтобы установить (i), сначала обратите внимание, что существует постоянная c > 1 такая, что

для всех ω ∈ Ω и всех векторов (a

1

,..., а

k

),

(а

1

,..., а

к − 1

)

2

/c ≤

к − 1

i=1

a

i

ˆ

e

− я

≤ c (a

1

,..., а

к− 1

)

2

,

Где

·

2

Обозначает евклидову норму на R

k

Следовательно, достаточно, чтобы

продемонстрируйте, что существует c > 0 такое, что L

(n)
ω

v ≥ c(λ

(n)
ω

)

к− 1

v

для всех v ∈ R

k

, где L

(n)
ω

Является ли матрица L

(n)
ω

в отношении (ˆ

e

− джей

)

k − 1
j=1

.
Это эквивалентно показу существования c > 0, такого, что

(L

(n)
ω

)

− 1

≤ c(λ

(n)
ω

)

− (к− 1)

для всех n ∈ N и ω ∈ Ω. Мы ранее

Показал, что L

(n)
ω

Может быть выражено как DA, где D- диагональ

матрица с записями (λ

(n)
ω

)

i

, при этом i переходит от 1 к k − 1; а -
верхняя треугольная матрица с ограниченными записями и 1 на diagonal.
It следует, что (L

(n)
ω

)

− 1

≤ c(λ

(n)
ω

)

− (к− 1)

По мере необходимости, чтобы у нас

Продемонстрировано (i).

32

СЕСИЛИЯ ГОНЗ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Чтобы показать (ii), пусть f ∈ E

k

(ω), и напишите f = f

+

+ f

0

+ f

−

Где

Компоненты лежат в U

+

k

, W

0

И У

−

k

Соответственно. Ясно, что по крайней мере один

Из компонентов имеет норму не менее f /3. Так как L

(n)
ω

f = Π

ω

L

(n)
ω

F,

Где

является ли каждый из +, 0 или −, у нас есть

L

(n)
ω

f ≥ макс.

L

(n)
ω

f

+

, Л

(n)
ω

f

0

, Л

(n)
ω

f

−

.

Следовательно, достаточно показать, что для каждого из +, 0 и − существует
c > 0 такое, что для всех ω ∈ Ω и n ∈ N,

(5)

L

(n)
ω

f ≥ c (λ

(n)
ω

)

к− 1

f

Для f, лежащего в U

k

.

Первое из них было продемонстрировано в (i). Если f ∈ W

0

, затем L

(n)
ω

f = f,

Так что

L

(n)
ω

f

=