Жидкость с вязкостью. Метод интегрирования уравнений Навье-Стокса

7.3. Жидкость с вязкостью, когда

Обобщим результаты пункта 5.3 относительно задачи Коши для однородных nD уравнений Навье-Стокса со средним и небольшим числом Рейнольдса. При этом ставим задачу: найти для метода (7.14) такую модификацию, чтобы получить аналитическое решение задачи Навье-Стокса в  когда

   (7.21)

Задача (1.1)_n – (1.3)_n с условием (7.21) принимает следующий вид

                                      (7.22)

                                                   (7.23)

(7.24)

Для полученной задачи рассмотрим метод интегрирования уравнений Навье-Стокса (7.22) с условиями (7.23), (7.24) в .  

На основании ранее приведенных результатов будем считать, что существуют функции , которые удовлетворяют условиям

  (7.25)

Тогда получаем преобразование в виде 

                       (7.26)                   

причем имеют место следующие условия 

                 (7.27)                     

Поэтому на основе (7.26), задача (7.22) – (7.24) сводится к виду

 (7.28)

т.е. система Навье-Стокса (7.22) для несжимаемых течений с трением трансформируется в линейную систему (7.28). 

Далее, из системы (7.28), учитывая условия (7.22)-(7.24) и применяя АПС, получим уравнение  

(7.29)

так как имеет место  

Поэтому на основании (7.29), система (7.28) эквивалентно преобразуется к виду

(7.30)

Таким образом, задача (7.30) сведена к следующей системе интегральных уравнений  

(7.31)

значит, для решения задачи (7.30) получена система (7.31) из « » интегральных уравнений с « » неизвестными.  

Для доказательства разрешимости системы (7.31) положим, что относительно известных

функций  имеет место:

(7.32)

где операторы  допускают сжатие отображений

(7.33)

Тогда на основе принципа сжимающих отображений система (7.31) однозначно разрешима и для построения решения применим метод Пикара

                (7.34)

Значит, с учетом всех выводов метода Пикара имеем последовательности функций , которые являются сходящимися и фундаментальными в  так как

Следовательно,

    (7.35)

Поэтому на основании (7.26) получим оценку

         (7.36)

Это означает, что последовательности  стремятся к пределу  

                                                 (7.37)

 Теорема 9. Если выполняются условия (7.23), (7.24), (7.25), (7.32), (7.33) и (7.37), то задача Навье-Стокса корректна в    

 Доказательство. Действительно, при указанных условиях задача Навье-Стокса эквивалентно трансформируется в систему из « » интегральных уравнений с « » неизвестными функциями, а, тем самым, для этой системы реализуются все условия принципа сжатых отображений. Тогда система (7.31) корректно поставлена в , то есть на основе (7.35) существует гладкая и единственная функция . Поэтому с учетом (7.26) при условиях (7.23), (7.24), (7.25), (7.32), (7.33) и (7.37) получим .  

Очевидно, что малые изменения  или  незначительно влияют на решение (7.26), то есть решение непрерывно зависит от этих данных. Поэтому, вопрос о корректности задачи (7.22) – (7.24) разрешается на основе результатов теоремы 9 в , что и требовалось доказать. ■

8. Заключение  

Суть данной работы заключается в том, что разработанные аналитические методы решения без привлечения дополнительных условий эквивалентно преобразуют задачу Навье-Стокса (1.1) – (1.3) в неоднородные линейные уравнения типа теплопроводности с условием Коши, которые, как известно, разрешимы в классе функций с достаточно гладкими начальными условиями в момент времени  Поэтому преобразованные задачи сохраняют математические и физические закономерности постановки исходной задачи и значения переменных, отвечающих требованиям Математического Института Клея. 

В работе [8] исследована задача Навье-Стокса с вязкостью в неограниченной области, а именно тот вариант, который предпочтительнее по сравнению с другими вариантами проблемы тысячелетия. Задача, трансформированная с помощью математических преобразований:

а) имеет строгое гладкое аналитическое решение, или

б) имеет аналитическое решение, основанное на методе Пикара.

В настоящем исследовании результаты работы [8] развиты для 3D и nD уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. В параграфе 4 полученные результаты иллюстрируются примером в ограниченной области. 

Решение шестой проблемы тысячелетия связано с критерием регулярности Билла-Като-Мажда [2, 5]. Впервые этот критерий выведен для 3D уравнений Эйлера в статье [2], но в данной работе получено доказательство для 3D уравнений Навье-Стокса. Тем самым, рассматриваемый критерий обобщен для вязкой несжимаемой жидкости в , где, относительно параметра вязкости, условие регулярности интегралов выражается в терминах времени интегрируемости. Когда аналитическое решение 3D уравнений Навье-Стокса удовлетворяет условия критерия Билла-Като-Мажда, то автоматически доказываются условия критерия и для 3D уравнений

 

 

Эйлера, так как значение вязкости  отвечает уравнению идеальной жидкости.

Таким образом, полученные в настоящей работе результаты отражают все требования шестой проблемы тысячелетия [1], а именно, задача Навье-Стокса (1.1) – (1.3), во-первых, имеет гладкое единственное решение в , во-вторых, – условно-гладкое единственное решение в или   

Литература

[1] Navier-Stokes Existence and Smoothness Problem. The Millennium Problems, stated in 2000 by Clay Mathematics Institute.

[2] Beale, J.T., Kato, T., Majda, A. (1984), Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations, Comm. Math. Phys. 94 (1), pp. 61-66.

[3] Birkhoff, G. (1983), Numerical fluid dynamics. SIAM Rev., Vol. 25, No 1, pp. 1-34.

[4] Cantwell, B.J. (1981), Organized motion in turbulent flow. Ann. Rev. Fluid Mech. Vol. 13, pp. 457-515.

[5] Grujic, Z., Guberovic, R. (2010), A regularity criterion for the 3D NSE in a local version of the space of functions of bounded mean oscillations, Ann. Inst. Henri Poincare, Anal. Non Lineaire 27, pp. 773-778.

[6] Ладыженская, O.A. (1970), Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Москва: Наука, 288 с.

[7] Omurov, T.D. (2013), Nonstationary Navier-Stokes Problem for Incompressible Fluid with Viscosity. American J. Math.&Statistics, Vol. 3, No 6, pp. 349-356.

(http://article.sapub.org/10.5923.j.ajms.20130306.08.html)

[8] Omurov, T.D. (2014), The Methods of a Problem Decision Navier-Stokes for the Incompressible Fluid with Viscosity. American J. of Fluid Dynamics, Vol. 4, No 1, pp. 16-48

(http://article.sapub.org/10.5923.j.ajfd.20140401.03.html )

[9] Omurov, T.D. (2013), Navier-Stokes problem for Incompressible fluid with viscosity. Varia Informatica, 2013, Ed. M.Milosz, PIPS Polish Lublin, pp. 137-158.

[10] Omurov, T.D. (2010), Нестационарная задача Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Бишкек: КНУ Ж. Баласагуна, 86 с. (Кыргызпатент: авторское свидетельство №1543 от 30.07.2010 г.)  

[11] Prantdl, L. (1961), Gesammelte Abhandlungen zur angewandten Mechanik, Hudro- und Aerodynamic. Springer, Berlin.

[12] Шлихтинг, Г. (1974), Теория пограничного слоя. Москва: Наука, 712 с.

[13] Соболев, С.Л. (1966), Уравнения математической физики. Москва: Наука, 443 с.

[14] Friedman, A. (1958), Boundary estimates for second order parabolic equations and their application. J. of Math.and Mech., Vol. 7, No 5, pp.771-791.

[15] Hörmander, L. (1983), The Analysis of Linear Partial Differential Operators II: Differential Operators with Constant Coefficients. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, NY, Tokyo, 1983.