Модификация метода необходимая для интегрирования уравнений Навье-Стокса

5.2. Модификация метода (5.2), когда  

В данном пункте рассматривается модификация метода (5.2), необходимая для интегрирования уравнений Навье-Стокса в классе функций  а именно в случае, когда

      (5.21)

Поэтому, как и ранее, компоненты скоростей определяем по правилу  

       (5.22)

причем

                   (5.23)

Следовательно, на основании (5.21) – (5.23) система (1.1) преобразуется к виду

(5.24)

Поэтому, принимая во внимание результаты предыдущего пункта, а именно (5.5) – (5.9), а

также то, что вместо  мы будем рассматривать , из уравнения (5.24) получим

(5.25)

где

 (5.26)  

Теперь, пусть известные функции, входящие в систему (5.25), удовлетворяют условиям

   

(5.27)

и

    (5.28)

Тогда решение этой системы можем найти на основе метода Пикара

                 (5.29)

Отсюда следует, что с учетом результатов (5.13) – (5.15) получим, что последовательности функций  сходятся к пределу

                                           (5.30)

Теорема 6*. Если выполнены условия (1.2), (1.3), (5.21) – (5.23) и (5.30), то задача Навье-Стокса разрешима в .  

Замечание 6. При условии  имеем . Однако, если  то  

                     (1)*

Если же , причем

 (см. (5.28)),                              (2)*

то, очевидно, задача Навье-Стокса разрешима в .

Отметим, так как уравнения системы ( (5.25)) являются уравнениями Вольтерра-Абеля по переменной t, то обсуждая на языке уравнений Вольтерра, мы можем найти решение в

 

, т.е., как и в случае, когда условие (5.28) не выполнено. Поэтому предположим, что   

                        (3)*

Тогда и в этом случае справедливы все результаты теоремы 4*, поэтому докажем, что при соблюдении условия (3)* система (5.25) имеет единственное решение в   

Для случая (3)* разделим интервал  на две части:  Как видно, шаг  В итоге получили пару систем в областях  и  т.е.

                       (4)*

Тогда операторы  являются сжимающими с коэффициентом сжатия

                                   (5)*

а, значит, отображают области определения в себя. Поэтому при соблюдении условия (5)* принцип сжатых отображений выполнен, а потому система (4)* разрешима в

Далее рассмотрим  соответственно операторам  причем

               (6)* Если, как и ранее, операторы  допускают сжатие отображений, то система интегральных уравнений с указанными операторами разрешима в  Значит, система (5.25) корректна в . В теории уравнений Вольтерра предлагаемый метод решения системы (5.25) называется «методом склеивания» или «методом подобластей».