Жидкость со средней и большой вязкостью

5.3. Жидкость со средней и большой вязкостью, когда

В 5.1 и 5.2 изучена жидкость со средней вязкостью, если . Здесь рассмотрим метод интегрирования уравнений Навье-Стокса (1.1) со средним и небольшим числом Рейнольдса ( ) для уравнений [12], содержащих все инерционные

члены и условие . Цель этого пункта: найти для метода (5.22) такую модификацию, чтобы получить аналитическое решение задачи Коши для однородных уравнений Навье-Стокса в  

В этой связи, здесь исследуем задачу

                                         (5.31)

                                             (5.32)

                              (5.33)

где  известные константы и  

                     (5.34)

Чтобы достичь поставленной цели, будем считать, что существуют функции , которые удовлетворяют условиям

          (5.35)

Тогда применим метод 

                                 (5.36)                   

для которого соблюдаются условия    

             (5.37)                 

С помощью преобразования (5.36) при выполнении условий (5.32) – (5.35) и (5.37), так как все инерционные члены линеаризуется на основе функций , уравнение

 

Навье-Стокса с трением (5.31) сводится к неоднородным линейным уравнениям  

     (5.38)

Из системы (5.38) с учетом условий (5.31) – (5.33), применяя алгоритм АПС, получим уравнение:  

 (5.39)

так как имеет место

Тогда на основании (5.39) система (5.38) эквивалентно преобразуется к виду

(5.40)

для которого имеем

(5.41)

Чтобы доопределить (5.41), вычислим частные производные по и на основе математических преобразований выведем систему интегральных уравнений  

(5.42)

Таким образом, для решения задачи (5.40) получили систему (5.42) из четырех интегральных уравнений с четырьмя неизвестными функциями.  

Пусть для известных функций  имеет место  

 

(5.43)

и

(5.44)

Тогда относительно операторов  выполняется принцип сжимающих отображений. Поэтому, система (5.42) разрешима, решение которой строим на основе метода Пикара, а именно

                        (5.45)

Учитывая выводы метода Пикара, имеем

(5.46)

Значит, на основании результатов (5.13) – (5.15) получим, что последовательности функций , построенные по правилу

         (5.47)

сходятся к пределу  

                                              (5.48)

Очевидно, малые изменения  или  не способны влиять на решение

 

(5.36), значит, решение непрерывно зависит от этих данных. Поэтому корректная постановка задачи (5.31) – (5.33) в  следует из результатов теоремы 6*.

Отметим, что если же , причем (см. (5.44)):     

 

то, очевидно, задача Навье-Стокса (5.31) – (5.33) разрешима в .