Жидкость с малой вязкостью. Лемма и уравнение

4.2. Жидкость с малой вязкостью, когда  

I . Цель пункта заключается в модификации метода (4.2), которая позволит получить аналитическое решение задачи Навье-Стокса с вязкостью в  

Если компоненты начальной скорости и функции  подчиняются условиям

 (4.11)

то применимы преобразования вида 

                (4.12)

Тогда система (1.1) эквивалентно трансформируется к виду

                                            (4.13)

Применяя разработанный выше алгоритм АПС к системе (4.13) с условиями (4.11) и (4.12), имеем относительно давления следующее уравнение

        (4.14)

Значит, система (4.13) преобразуется к виду 

      (4.13)*

Тогда решение задачи (4.13)* представимо в виде

(4.15)

где – известная функция, а потому решение (4.15) удовлетворяет задачу (4.13)*.

Действительно, определив частные производные уравнения (4.15)   

 (4.16) 

а, затем, подставив (4.16) в (4.13)*, получим

 

Таким образом, получено то, что и требовалось показать.  

Из полученного результата следует, что функции определяются преобразованиями (4.12), т.е.

                (4.17)

Поэтому, учитывая частные производные первого порядка системы (4.17) и подводя итог с принятием во внимание (1.2) и (4.12), имеем

значит, система (4.17) удовлетворяет условию (1.2).

II . Так как , то решение задачи (1.1) – (1.3) принадлежит :

  

Очевидно, если

     

          (4.18)

то на основании (4.15) получим неравенство

                                                      

В классе функций , таким образом, оценка (4.17) дает необходимый результат

 

Лемма 2. Уравнение (4.15) с условиями (1.2), (4.11), (4.12) и (4.18) имеет единственное решение в .

Теорема 4*. При выполнении условий леммы 2 задача (1.1), (1.2), (4.11) разрешима в  и решение определяется правилом (4.17).

Итогом исследований данного пункта являются результаты теоремы 4*, где решение системы (1.1) рассматривается как строгое решение задачи (1.1) – (1.3) в  Очевидно, малые изменения  или  незначительно влияют на решение (4.17), значит, решение непрерывно зависит от этих данных. Поэтому вопрос о корректной постановке задачи (1.1) – (1.3) решается, исходя из результатов теоремы 4*.

Замечание 2. Результаты пункта 4.2 с учетом преобразования (4.12) могут быть использованы в отношении уравнений Навье-Стокса (1.1)  

                                        (1)

                                            (2)

т.е. в области  пространства переменных  ограниченных поверхностью , где t удовлетворяет неравенству  при известных условиях [13]

                                                                   (3)

                                                     (4)

Действительно, применяя преобразование (4.12), т.е. 

           (5)

из (1) получим уравнение (4.13), а именно

                                              (6)

Откуда следует уравнение (4.14) в виде

                                          (7)

Поскольку уравнение (7) является уравнением Пуассона, то для сравнения рассмотрим краевую задачу следующего вида

                                                             (8)

Тогда из уравнения (7) получаем выражение для неизвестного давления    

    (9)       

Теперь, учитывая (6) и (9), имеем

                                             (10)

                                                        (11)

где

      

Полученного результата достаточно, чтобы, не вдаваясь в полное исследование задачи (10), (11), которое дано в [13, с. 349-351], ограничится тем, что обобщенное решение принимается, как решение в обычном смысле при достаточной гладкости [13, стр.311-318, XXII]. Поэтому подобные выводы справедливы в отношении задачи (1) – (4), что и требовалось доказать.

Замечание 3. В пункте 2.2 приведено неравенство Билла-Като-Мажда. Поэтому, здесь укажем связь критерий регулярности Билла-Като-Мажда с результатами теоремы 4*, так как результаты этой теоремы приводят к глобальным классическим решениям уравнений Навье-Стокса (1.1) ​​ в классе  с точки зрения исходных данных, удовлетворяющих (4.17). Следовательно, при выполнении условий теоремы 4*, а также

имеет место

                       (4.19)                   

Как следствие, получим, аналогично формуле (2.24), оценку

(4.20)                   

Значит, выведенная нами оценка является оценкой типа Билла-Като-Мажда [5].