Модифицированный вариант метода с условием

4.3. Модифицированный вариант метода (4.12) с условиями  

Новизна модификации метода (4.12) по пункту 4.3 в том, что компоненты скорости определяются более произвольно, чем в правилах (4.2) или (4.12), когда , а точнее с помощью регулирующих функций , причем, не теряя физическую значимость, а в этом выражается актуальность исследования при условиях .  

Предлагаемые методы интегральных преобразований вводятся так, чтобы преобразовать нелинейную задачу Навье-Стокса в линейную задачу теплопроводности. Разрешимость задач доказана на основе разработанных методов, так как они сводят начальные задачи к интегральным уравнениям Вольтерра-Абеля, где есть возможность найти аналитическое решение с учетом теории интегральных уравнений второго рода [13].   

Для несжимаемых течений с трением, когда 

         (4.21)           

функции  представимы ​​в виде  

    (4.22)

где  известные константы. От введенных функций  требуется, чтобы  

Причем, функции  регулярны, относительно параметра вязкости в  но поскольку вязкость  выступает в роли малого параметра, то   

Кроме того, если предположить соблюдение (4.21), (4.22) и  

       (4.23)

то уравнения Навье-Стокса (1.1) на основе (4.22) преобразуется к виду 

(4.24)

Системы (1.1) и (4.24) эквивалентны. Тогда новая система уравнений будет неоднородной линейной системой переноса вихрей [12]. Здесь инерционные члены в уравнениях (1.1) линеаризуются с помощью регулирующих функций , которые были впервые введены в работе [8] и в методе (4.22).  

Из системы (4.24) с учетом условий (4.21) – (4.23), применяя АПС, получаем уравнение  

  (4.25)

так как соблюдены условия

Существуют различные методы [12], которые дают связь скорости и давления в виде закона распределения давления, например, соотношение типа Бернулли. В данном пункте получен закон распределения давления в виде (4.25), но впервые такого рода результаты получены в работе [8]. Поэтому на основе закона (4.25) эквивалентно преобразуем систему (4.24) к виду  

(4.26)

Тогда задача (4.26) трансформируется в систему интегральных уравнений, вполне регулярную относительно параметра вязкости , и имеет следующий вид       

(4.27)

Полученная система (4.27) состоит из четырех интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Абеля 2-го рода по переменной  и содержит четыре неизвестные функции. Значит, для разрешимости системы (4.27) достаточно показать, каким образом обеспечивается принцип сжимающих отображений и становится возможным использовать метод Пикара для решения этой системы.

Итак, пусть имеет место

  

   (4.28)

причем операторы  допускают сжатие отображений, т.е. 

                         (4.29)

и

(4.30)

Тогда система (4.27) разрешима на основе принципа сжимающих отображений, а решение этой системы можно найти на основе метода Пикара

                 (4.31)

Исходя из чего, учитывая выводы метода последовательных приближений, находим, что построенные последовательности функции по правилу (4.31):  являются сходящимися и фундаментальными в , причем, элементы построенных последовательностей принадлежат  для , так как имеют место

 

(4.32)

Значит, последовательности  сходятся к пределу :     

   (4.33)

Тогда на основании (4.22) получим

        (4.34)

Отсюда следует, что последовательность функций  сходится к пределу  

                                                  (4.35)

Теорема 5*. Задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (4.21), (4.22), (4.28) – (4.30) и (4.35) разрешима в .

Замечание 4. Когда  то  Если  то подчиняется неравенству