Существование, Единственность и Гладкость Решения Задачи Навье-Стокса для Несжимаемой Жидкости с Вязкостью

Таалайбек Д. Омуров

Доктор физ.-мат.наук, профессор Кыргызского национального университета им. Ж. Басалагуна, Бишкек, Кыргызстан, E-mail: [email protected]

Аннотация. Доказательство существования, единственности и гладкости (или условной гладкости) решения уравнений Навье-Стокса стало важнейшей математической проблемой тысячелетия: "Navier-Stokes Millennium Problem". Проблема ограничена изучением уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. В данной работе разработаны методы построения аналитически гладких решений нестационарной задачи Навье-Стокса, представляющей собой указанную проблему тысячелетия [1].

Ключевые слова: шестая проблема тысячелетия, уравнения Навье-Стокса и Эйлера, критическое число Рейнольдса, критерий Билла-Като-Мажда

Предисловие

Исследование посвящено разработке методов решения 3D и nD уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости и включающее требования "Navier-Stokes Millennium Problem", так как разработанные методы решения содержат доказательство существования и гладкости (условной гладкости) решения уравнений Навье-Стокса, где ламинарное течение отделено от турбулентного течения, когда критическое число Рейнольдса Re = 2300. Решение получено для скорости и давления в аналитическом виде, как того требует Математический Институт Клея в постановке "Navier-Stokes Millennium Problem" [1]. Методы решения подкреплены примерами для различных интервалов вязкости, отвечающих прикладным задачам.

 В параграфах 4.3, 4.4, 5, 6 и 7.3 найден новый закон распределения давления. Этот закон получен из уравнения пуассоновского типа и отличается от известных законов Бернулли, Дарси и др. Автор впервые применил специальные пространства для исследования существования и гладкости (в том числе, условной гладкости) уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. В дальнейшем эти пространства можно назвать пространствами Омурова:    

а) одно из них в случае гладкости – это пространство с нормами типа Чебышева,  

б) другие имеют место в случае условной гладкости, например:  это весовое пространство с топологией типа Соболева.

Академик К. Жумалиев, директор Института физики НАН КР

1 августа 2014 г.

1. Введение

Трудность решения 3D и nD уравнений Навье-Стокса обусловлена их нелинейностью и необходимостью найти скорость и давление в зависимости от любых значений параметра вязкости [1].     

Обозначим компоненты векторов скорости и внешней силы, как

  

тогда соответствующая задача Навье-Стокса представима ​​в виде

                                  (1.1)

                                          (1.2)

                                     (1.3)

где  – кинематическая вязкость, r – плотность, D – оператор Лапласа. Условие несжимаемости жидкости (1.2) является дополнительным уравнением задачи (1.1) – (1.3), а скорость n и давление P – это неизвестные величины, подлежащие определению.

Для решения поставленной задачи (1.1) – (1.3) предлагается трансформировать уравнения Навье-Стокса следующим образом. Преобразуем (1.1) к виду [7, 10]:

                                       (1.4)

                                                       (1.5)

где

                           

не нарушая, тем самым, эквивалентность системы (1.1) и (1.4), (1.5). Полученные системы (1.4), (1.5) содержат неизвестные функции ,  и давление P. Здесь  – известные функции, так как известны .

Предлагаемый метод решения систем (1.4) и (1.5) связан с функциями , а именно:

A₁) ;  или

А₂)  или

 

А₃)  произвольные функции, если, соответственно выполняются как необходимые условия:

а₀₁)  а₀₂)  а₀₃)  произвольные функции.

Известно, что решение многих проблем теоретической и математической физики требует применения специальных весовых пространств. В работах [7, 9] впервые предложен метод решения задачи Навье-Стокса в пространстве  

  (1.6₁)

Как альтернатива, в работе [8] на основании леммы К. Фридрихса [15] был построен класс подходящих решений в    

(1.6₂)

   Цель работы. Основная цель настоящей работы – это доказательство существования, единственности и гладкости (или условной гладкости) решения задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью. В случае гладкости решения результаты исследований получены в пространстве :

    (1.6₃)

но в случае условной гладкости – в пространстве

             (1.6₄)

Так как , то ограниченность решения задачи Навье-Стокса (1.1) – (1.3) можно доказать, как и в [8], в  весовом пространстве типа Соболева.

Известно, что из равномерной сходимости последовательности непрерывных функций на  [a, b] следует сходимость в среднем на [a, b]. Поэтому, поскольку норма:  подчинена , то из сходимости последовательности  в смысле  вытекает ее сходимость в , причем к тому же самому элементу. Таким образом, если решение задачи (1.1) ограничено в пространстве , то следует ограниченность в пространстве , обратное неверно.

 Научная ценность. Разработанные методы без привлечения дополнительных условий преобразуют задачу Навье-Стокса в неоднородные линейные уравнения типа теплопроводности с условием Коши, которые обладают теми же свойствами, что и решение задачи Коши для уравнений Навье-Стокса. В полученных уравнениях аналитическое решение регулярно в отношении фактора вязкости, что во многом упрощает анализ в математическом и физическом смысле [6, 11, 12].

 Важным дополнением к решению явилось исследование жидкости с очень малой вязкостью, когда Re ≥ 2300. Оказалось, что и в этом случае разработанные методы дают аналитическое решение задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, чем позволяют достичь полного понимания физики турбулентности [4, 12]. 

 Кроме того, в работе исследованы течения со средним размером вязкости при сохранении всех инерционных членов. Отметим, что в медленных течениях или в течениях со средней величиной вязкости, когда конвективное ускорение не равно нулю, возникали проблемы интегрирования уравнений Навье-Стокса в общем виде [12]. Поэтому полученные результаты работы отражают применимость метода к задаче Навье-Стокса со всевозможными значениями вязкости, а также, когда вязкость выступает в роли параметра, а потому доказывают значимость разработанных методов.

Далее, на основе разработанных методов аналогичные результаты получены и относительно задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью, когда . 

Вопросы физики и приложений уравнений Навье-Стокса здесь не рассматриваются, с ними можно ознакомиться в [3, 4, 6, 11, 12].

2. Жидкость с Очень Малой Вязкостью с Условием ( A ₁ )

В этом параграфе при определенных ограничениях на входные данные будет дано строгое обоснование однозначной совместимости системы (1.4) – (1.5) для очень малой вязкости . В предельном случае весьма малых сил трения, т.е. для больших чисел Рейнольдса, решение уравнений Навье-Стокса обладают таким свойством, что все поле потока можно разделить на две области [12], где существует тонкий слой, в котором проявляет себя трение. Во внешней области поток не зависит от сил трения, свободен от вращения частиц, а потому описывается уравнениями Эйлера. Поэтому в этом параграфе изучается поведение решения уравнений Навье-Стокса, когда вязкость стремится к нулю.

2.1. Жидкость с условием ( A ₁ )

Пусть функции  удовлетворяют условию (a₀₁). Тогда относительно , предполагая условие (A₁) и

 

                                                               (2.1)

из системы (1.4) – (1.5), соответственно, получим следующие системы

                                     (2.2)

                                   (2.3)

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.2), (1.3), (A₁) и (2.1). Тогда системы (2.2) и (2.3) эквивалентно преобразуются к виду

                 (2.4)

В таком случае задача (1.1) – (1.3) имеет единственное решение, удовлетворяющее условию (1.2).

 Доказательство. Доказательство теоремы 1 состоит из четырех этапов.

1) Из системы (2.2) выведем следующий алгоритм [8]. На первом шаге считаем, что первое уравнение (2.2, i = 1) дифференцируемо по , второе уравнение (2.2, i = 2) – по , третье  (2.2, i = 3) – по . На втором шаге, беря за основу формулу

         (2.5)                        

получим уравнение Пуассона [13] 

  

т.е.

               (2.6) 

так как

                                                      (2.7)

Алгоритм вывода уравнения Пуассона (2.6) назовем "алгоритмом пуассонизации системы", далее, для краткости АПС. Поэтому, если – решение уравнения (2.6), то подставляя в (2.2)

                                           (2.8)

имеем

        (2.9)

т.е. система (2.2) эквивалентна (2.9). Это означает, что уравнение (2.2) преобразовано в линейное неоднородное уравнение теплопроводности, где уравнения (2.6) и (2.9) – это соответственно первое и второе уравнения системы (2.4).

2) Из полученных результатов следует, что система (1.1) трансформируется в систему линейных уравнений теплопроводности с условием Коши. Значит, задача Коши с достаточно гладкими начальными данными при t = 0 разрешима в классе ограниченных функций [13, 14], поэтому задача Навье-Стокса имеет единственное условно-гладкое решение [8] в  

Действительно, из системы (2.9) следует

(2.10)

где H_i – известные функции. Найденное решение (2.10) удовлетворяет системе (2.9).

Для этого, с учетом частных производных системы (2.10):  

 (2.11) 

а, затем, подставляя (2.11) в (2.10), имеем

(*)

где правая часть формулы (*) интегрирована по частям, что и требовалось доказать. 

Далее покажем, что решение (2.10) удовлетворяет (1.2). Для этого, учитывая частные производные первого порядка и суммируя эти производные с учетом (1.2), имеем

Значит, система (2.10) удовлетворяет уравнению (1.2).

Доказательство ограниченности решений в  предполагает, чтобы решение системы (1.1) было дано в форме (2.10) с условиями (1.2), (1.3), (A₁), (2.1) и

  (2.12)

Действительно, оценивая (2.10) в , имеем

                   

Единственность решения  системы (2.10) очевидна из метода от противного [13]. В самом деле, предполагая  и допуская, что эти решения удовлетворяют системе (2.10), с условием (1.3), получим противоречие , поэтому система (2.10) имеет единственное решение.

Из результатов (2.10) при условиях (A₁), (2.1) следует, что гладкость функций налагается только по , так как производная первого порядка по времени определяется для .

Замечание 1. Помимо всего, альтернативно можем рассмотреть, например, класс подходящих решений, построенных в  

 Если решение системы (1.1), представлено в виде (2.10) с условиями (1.2), (1.3), (A₁), (2.12) и

(2.13)

то решение (2.10) задачи Навье-Стокса (1.1) – (1.3) принадлежит .  

Действительно, на основе (2.10), проведя оценки в , получим [8]:

Отметим, что в работе [8] аналогичные результаты в случае (2.10) получены и в весовом пространстве .

3) Суть данного подпункта в определении решения (2.9) в  Для этого, задачу (2.9), (1.3) можно решить иначе, если выполняются условия: 

  (2.12)*

Тогда компоненты скорости  определяются по правилу

                     (2.14)

Поэтому система (2.9) преобразуется к виду

                                                    (2.15)

Здесь  новые неизвестные функции, которые определяют решение задачи Навье-Стокса

 

на основе (2.14) в следующем виде

(2.16)

где – известные функции, а потому найденное решение (2.16) удовлетворяет систему (2.15).

Вычислив частные производные системы (2.16)  

(2.17) 

и подставляя (2.17) в (2.15), имеем (см. (*)):

 

  (2.18)

А это именно то, что и требовалось доказать.

  Значит, на основании (2.14) и (2.16) получим

(2.19)

Доказательство ограниченности функций в  когда решение системы (1.1) представляется в форме (2.19) с условиями (1.2), (1.3), (A₁), (2.1) и (2.12)*, проводится на основе результатов теоремы 1. Поскольку функции  являются решениями системы (2.19), то, вычисляя частные производные до требуемого порядка и оценивая в смысле нормы , имеем

(2.20)

 Единственность очевидна, так как на основе метода от противного из (2.16) следует единственность решения данной системы. Тогда, с учетом (2.19) получим единственность решения системы (2.2) в   

4) Возвращаясь к доказательству теоремы 1, теперь, с учетом (2.3), (2.19) и их частных производных по , находим   

                          (2.21)

Здесь  – известные функции. Поэтому, дифференцируя первое уравнение в системе [(2.21), ]  по ; второе уравнение [(2.21), ] – по ; третье [(2.21), ] – по , а, затем, суммируя, получим

                                      (2.22)

причем, заметьте

                                                         

Уравнение (2.22) – есть третье уравнение системы (2.4), поэтому из полученных результатов с учетом (2.6) следует

                              (2.23)

т.е. полученное выражение (2.23) – это четвертое уравнение системы (2.4).  

Формула (2.23) может быть преобразована в эквивалентную форму

                (2.23)*

которая является уравнением типа Бернулли [12]. Поскольку функция  

удовлетворяет следующему уравнению

 

то функция  является потенциалом Ньютона, который стремится к нулю на бесконечности, как следует из, где  плотность потенциала [13].   

Из полученных результатов следует, что функции  однозначно определяются из систем (2.19), (2.22), (2.23) и являются гладкими по совокупности переменных до требуемого порядка, т.е. система (2.4) имеет единственное гладкое решение. Теорема 1 доказана. ■

 Как следствие теоремы 1, получим следующие утверждения.

Теорема 2. В условиях теоремы 1 и (2.10), (2.12) задача Навье-Стокса (1.1) – (1.3), (A₁) имеет единственное условно-гладкое решение в .  

Утверждение 1. В условиях (1.2), (1.3), (А₁) и (2.12), (2.13) задача Навье-Стокса имеет единственное решение в .   

Теорема 2*. Задача (1.1) – (1.3), (A₁) при выполнении условий теоремы 1 и (2.12)*, (2.20) разрешима в     

 Сутью исследований данного пункта являются результаты теоремы 2*, в которых решение системы (1.1) рассматривается как строгое решение задачи (1.1) – (1.3), (А₁) в  Очевидно, малые изменения  или  незначительно влияют на решение (2.19), значит, решение непрерывно зависит от этих данных. Поэтому вопрос о корректной постановке задачи (1.1) – (1.3), (A₁) решается, исходя из результатов теоремы 2*.