Модификация Метода (4. 12) на Основе Интегралов Типа Пуассона

В предыдущих параграфах исследованы различные варианты метода (4.12) для задачи Навье-Стокса в пространствах . Различными исследователями получена связь скорости и давления экспериментальными методами [12]. Например, у Бетца А., Джонса Б.M. и др. связь основана на соотношении типа Бернулли, поэтому скорости  выражаются в конкретной форме. В нашем случае для решения 3D уравнений требуется ввести преобразования с помощью интегралов типа Пуассона, что позволит получить соотношение распределения давления, которое даст связь между давлением и скоростью в новой форме, а также позволит выразить скорость в интегральной форме.

В этой связи, в данном пункте рассматривается метод комплексного преобразования на основе интегралов Пуассона, когда  или . Поэтому на основе разработанного метода система Навье-Стокса (1.1) с условиями (1.2) и (1.3) может иметь гладкое единственное решение в , причем в аналитической форме, что и выясним.

 6.1. Жидкость с очень малой вязкостью , когда

  I . Для несжимаемых течений с трением, если 

                             (6.1)           

то функции  представимы в виде  

 

     (6.2)

От введенных функций  требуется, чтобы

где  выступает в роли малого параметра, причем 

            (6.3)

Тогда уравнения Навье-Стокса (1.1) для несжимаемых течений с трением трансформируются с помощью (6.1) – (6.3) и принимают следующий вид

         (6.4)

Из системы (6.4), учитывая условия (6.1) – (6.3) и применяя АПС, получаем

(6.5)

так как выполняются условия

Поэтому, на основе выражения (6.5) система (6.4) эквивалентно преобразуется к виду

  (6.6)

Значит, задача (6.6) сводится к системе интегральных уравнений, вполне регулярных относительно параметра вязкости  

  (6.7)

Пусть известные функции  являются субмультипликативными функциями [15] и имеет место  

 

(6.8)

причем операторы  допускают условия принципа сжимающих отображений:

      (6.9)

Тогда система (6.7) однозначно разрешима, а решение этой системы можем найти на основе метода Пикара

              (6.10)

при этом имеет место

(6.11)

 

 

Поэтому на основании (6.2) и

         (6.12)

получим

                      (6.13)

Это значит, что последовательность  сходится к пределу   

                                           (6.14)

А потому задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (6.1), (6.2), (6.8), (6.9) и (6.14) имеет гладкое единственное решение вида (6.2) в .

 

Жидкость с вязкостью, когда div f = 0

6.2. Жидкость с вязкостью когда

В параграфе 5 были исследованы уравнения Навье-Стокса с вязкостью среднего размера, при этом введенные математические преобразования свели нелинейные члены конвективного ускорения к линейному виду. Тем самым, с помощью новой теории получены неоднородные линейные уравнения теплопроводности с условием Коши.

Для развития предлагаемой теории рассмотрим аналогичные задачи для жидкости с небольшим числом Рейнольдса и со всеми членами конвективного ускорения в уравнениях Навье-Стокса. В отличие от параграфа 5 будем рассматривать методы интегральных преобразований на основе интегралов типа Пуассона в , когда  Метод аналитического решения уравнений Навье-Стокса, который дает интегрируемость этих уравнений, применяется в случае

                   (6.15)

На основании чего, вводим формулу для определения компонент скоростей:  

(6.16)

 

причем

(6.17)

Следовательно, с помощью (6.15) – (6.17) система Навье-Стокса (1.1) сводится к виду

       (6.18)

Поэтому из системы (6.18) с учетом (6.5) – (6.7), где вместо  рассматриваем , получим

    (6.19)

в которых

  

Если имеет место

 (6.20)

а операторы  допускают условия

(6.21)

 

то относительно этих операторов выполняются условия сжимающих отображений. Это означает, что система (6.19) однозначно разрешима, а решение данной системы определяется по методу Пикара (6.10). Тогда с учетом результатов (6.11) – (6.14) получим, что последовательности функций  сходятся к пределу     

                                      (6.22)

Как следствие пунктов 6.1 и 6.2, получим следующие утверждения.

Теорема 7. Нестационарная задача Навье-Стокса (1.1) – (1.3) разрешима в , когда

выполнены условия:

a ) (6.1), (6.2), (6.8), (6.9), (6.14) и  или

б) (6.15) – (6.17), (6.20), (6.21), (6.22) и