Жидкость с Вязкостью. Математические преобразования эквивалентно трансформируют уравнения Навье-Стокса

7. Жидкость с Вязкостью, Когда

В этом параграфе покажем, что определенные математические преобразования эквивалентно трансформируют уравнения Навье-Стокса в линейные уравнения в случае . Тем самым, удостоверившись, что решения в строго аналитической форме или решения, основанные на методе Пикара, имеют место не только для 3D уравнений Навье-Стокса с вязкостью [1], докажем, что и для nD уравнений Навье-Стокса имеют аналогичные решения в  или    

Предложенные в параграфе 4 методы интегральных преобразований были основаны на интегралах вольтерровского типа по переменной , когда . Эти методы были введены так, чтобы превратить нелинейную задачу Навье-Стокса в линейную задачу теплопроводности с условием Коши. Наша цель заключается в развитии указанных методов для уравнений Навье-Стокса в многомерном случае, а именно :

                                   (1.1)_n

                                          (1.2)_n

                          (1.3)_n

При условиях (1.2)_n и (1.3)_n система Навье-Стокса (1.1)_n может иметь или аналитическое гладкое и единственное решение в  или условно-гладкое единственное решение в , в чем убедимся на самом деле.

7.1. Жидкость с вязкостью ,  когда  

 Пусть  начальные компоненты вектора скорости  в момент времени  определяются, согласно (1.3)_n, следующим образом

                                 (7.1)

где  известные константы. Поэтому относительно компоненты скорости  можем ввести формулу

                                      (7.2)

Тогда замена (7.2) эквивалентно превратит уравнения (1.1)_n в систему линейных неоднородных уравнений вида

                                                (7.3)

где  новая неизвестная функция, которая определяет решение задачи Навье-Стокса на основе формулы (7.2). Чтобы решить систему (7.3), в первую очередь, найдем давление .

Действительно, применяя АПС, из системы (7.3) имеем   

        (7.4)

Следовательно, получили

               (7.5)

а это означает, что система (7.3) преобразована в линейное уравнение теплопроводности с условием Коши вида (7.5), которая разрешима в классе функций с достаточно гладкими начальными данными,

 

 

а потому существует условно-гладкое и единственное решение задачи Навье-Стокса в  

Действительно, из системы (7.5) следует

(7.6)

где  – известная функция. Для доказательства ограниченности решения (7.5) в , как видно, решение (7.5) сведено к виду (7.6), когда

(7.7)     

Теперь, оценивая (7.6) при соблюдении условия (7.7) в , имеем

(7.8)

Единственность (7.6) в  очевидна на основе метода от противного. Результаты (7.6) с

 

условием (7.2), (7.7) получены, когда гладкость функций требуется только по _, а производная первого порядка по времени определяется для всех . Следовательно, на основе преобразования (7.2) получаем решения системы (1.1)_n, которые удовлетворяют условию (1.2)_n, т.е. 

(7.9)

 Наконец, с учетом нормы пространства  получим оценку решения (7.9):

(7.10)

Следовательно, полученные результаты формулируются следующей теоремой. 

Теорема 8. Задача (1.1)_n, (1.2)_n, (7.1) при условиях (1.2)_n, (7.1), (7.7) и (7.10) имеет единственное решение в , которое определяется правилом (7.9).

Замечание 7. Известно, что турбулентное решение обладает свойством условной гладкости в аналитическом смысле [4]. Поэтому, полагаем, что класс подходящих решений задачи Навье-Стокса является весовое пространство типа Соболева . Так как , то решение (7.6) задачи Навье-Стокса (1.1)_n – (1.3)_n принадлежит :

  

если имеет место

    (7.11)

Для этого достаточно показать, что функция  является элементом пространства :

 

Пусть решение системы (7.5) представлено в виде (7.6) с условиями (7.7), (7.13). Тогда, проведя оценки (7.6) в , получим

       (7.12)

Значит, на основании (7.12), оценивая (7.2) в смысле нормы пространства , имеем

  

а это означает, что задача (1.1)_n – (1.3)_n при условиях (1.2)_n, (1.3)_n, (7.1), (7.7) и (7.11) имеет строгое и условно-гладкое решение в , что и требовалось доказать.

7.2. Жидкость с вязкостью , когда

I . Целью пункта является модификация метода (7.2), необходимая, чтобы получить аналитическое решение задачи Навье-Стокса с вязкостью, принадлежащее  

Поскольку имеем

                                 (7.13)

то применим преобразование 

             (7.14)

 

 

где – известные константы. Тогда система (1.1)_n трансформируется к виду

                                            (7.15)

Из системы (7.15), учитывая условия (7.13), (7.14) и применяя АПС, получим уравнение (7.4).

Таким образом, на основе (7.4) вместо уравнения (7.15) имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с условием Коши

(7.16)

Тогда решение задачи (7.16) представимо в виде

    (7.17)

где H – известная функция. Найденное решение (7.17) удовлетворяет уравнению (7.16).

Действительно, рассчитав частные производные системы (7.17)     

  (7.18) 

а, затем, подставляя (7.18) в (7.16), имеем  

 

Таким образом, получено то, что и требовалось доказать. 

Из полученных результатов следует, что функции  определяются на основе (7.14), а именно

             (7.19)

Кроме того, учитывая частные производные систем первого порядка (7.19), принимая во внимание (1.2)_n и (7.14), а, затем, подводя итог, получим, что система (7.19) удовлетворяет условию (1.2)_n:

                 

II . Так как , то решение задачи (1.1)_n – (1.3)_n ограничено в :

  

 

Действительно, если

   (7.20)

то на основе (7.17) получим

                                                       

Наконец, оценивая (7.19) в смысле нормы пространства , имеем

       

Лемма 3. При условиях (1.2)_n, (7.13), (7.14) и (7.20) уравнение (7.17) имеет единственное решение в .

Теорема 8*. Задача (1.1)_n, (1.2)_n, (7.13) при выполнении условий леммы 3 разрешима в  и решение определяется правилом (7.19).

 Итогом исследований настоящего пункта являются результаты теоремы 8*, на основании которых решение системы (1.1)_n является строго аналитическим и единственным решением задачи (1.1)_n – (1.3)_n  в . Поэтому корректность постановки задачи (1.1)_n – (1.3)_n разрешается, исходя из результатов теоремы 8*.