РГР №5 «Колебания и волны. Оптика»

5. Материальная точка массой m совершает гармонические колебания по закону синуса с амплитудой А, периодом Т, начальной фазой .

Написать:

1). уравнения гармонических колебаний точки, её скорости , ускорения а и возвращающей силы F.

Определить:

2). смещение x ₁ точки через время t ₁ от начала колебания;

3). максимальные скорость , ускорение a_{max .}, значение возвращающей силы F_{max .}, действующей на точку и её полную энергию E;

4). средние значения скорости <  >  и ускорения <  >  точки на пути от её крайнего положения до положения равновесия;

5). начертить график колебаний точки и построить векторную диаграмму для момента времени t ₀ = 0.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
m, кг	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,15	0,20	0,30
А, м	0,05	0.04	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,20	0,30	0,35
Т, с	3,0	2,5	2,0	2,0	2,5	3,0	3,0	3,5	3,0	4,0	1,5	2,0	2,5
					0					0
t 1, c	1,5	2,0	1,5	1,5	2,0	1,5	2,0	3,0	2,5	2,0	1,0	1,0	2,0
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
m, кг	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,15	0,20	0,30	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05
А, м	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10	0,20	0,30	0,35	0,06	0,01	0,02	0,03	0,04
Т, с	3,0	2,5	2,0	2,0	2,5	3,0	3,0	3,5	3,0	4,0	1,5	2,0	2,5
	0					0					0
t 1, c	2.0	2,0	1,5	1,0	2,0	2,5	1,5	3,0	2,5	2,0	1,0	1,0	2,0

Решение

1). Уравнения гармонических колебаний точки, её скорости , ускорения а и возвращающей силы F:

а). циклическая частота колебаний:  = , ;

б). уравнение гармонических колебаний точки: x = A , м;

в). уравнение скорости колеблющейся точки:

 =  = A , ;

г). уравнение ускорения колеблющейся точки:

а_х =  =  A ;

д). уравнение возвращающей силы:

F_x = m а_х =   m A = m , Н.

2). Смещение x ₁ точки через время t ₁ от начала колебания:

х ₁ = А  + ), м.

3). Максимальные скорость , ускорение a_{max .}, значение возвращающей силы F_{max .}, действующей на точку и её полную энергию E:

а). максимальная скорость колеблющейся точки:  = A , ;

б). максимальное ускорение колеблющейся точки: a_{max .} = │ A , ;

в). максимальное значение возвращающей силы: F_{max .} = m a_{max .}, H;

г). полная энергия колеблющейся точки: E = , Дж.

4). Средние значения скорости <  > и ускорения <  > точки на пути от её крайнего положения до положения равновесия:

а). средняя скорость:

По определению средней скорости <  > = , где Δ l – путь, пройденный точкой за время Δ t. В нашем случае Δ l = А; Δ t = , т.к. за время периода Т колеблющаяся точка проходит путь, равный четырём амплитудам. Тогда получаем:

                                                  <  > = , .

б). среднее ускорение:

По определению <  > = , где Δ  =   , при  = 0, а Δ t = .

Получаем: <  > = , .

5). График колебаний точки и векторная диаграмма для момента времени t ₀ = 0:

а). график колебаний точки (рис. 35):

t,c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x,м

 

Рис. 35.

б). векторная диаграмма колебаний (рис. 36):

Рис. 36.

6. От источника колебаний в однородной и изотропной не поглощающей упругой среде плотностью  вдоль прямой линии, совпадающей с положительным направлением оси х, со скоростью распространяется плоская синусоидальная волна заданная уравнением (x, t) = A kx), где А – амплитуда волны,   - циклическая частота волны. Определить:

1). период Т, частоту , волновое число k, длину  и интенсивность I волны;

2). фазу колебаний смещение скорость  и ускорение  точки, расположенной на расстоянии х ₁ от источника колебаний в момент времени t ₁;

3). максимальные значения скорости  и ускорения  колебаний частиц среды;

4). разность фаз Δ   колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии Δ х;

5). написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t ₁ после начала колебаний.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	8,55	0,90	9,00	2,70	7,87	8,55	8,80	11,30	7,30	2,20	2,70	7,87	8,55
,	3,5	3,3	3,7	5,0	5,2	3,5	4,8	2,6	2,7	5,4	5,0	5,2	3,5
А· 10-4, м	2,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	8,0	7,0	6,0
	3,14	6,28	9,42	12,56	18,84	3,14	6,28	9,42	6,28	18,84	3,14	6,28	9,42
х 1, м	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
t 1·10-4, с	1,4	1,2	0,8	0,5	0,2	0,6	0,6	1,5	1,9	1,1	1,5	1,6	2,6
Δ х, м	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	0,45	0,40	0,35	0,30	0,25	0,20	0,15	0,10
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
	8,55	8,80	9,00	8,55	0,9	2,7	7,30	2,20	11,3	2,70	7,87	2,20	9,00
,	3,0	5,0	3,7	3,5	3,3	4,5	2,7	5,4	2,6	5,2	5,3	5,4	3,7
А· 10-4, м	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	4,0	3,5	3.0	2,5
	3,14	6,28	9,42	6,28	18,84	3,14	6,28	9,42	3,14	6,28	9,42	12,56	18,84
х 1, м	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1	0,2	0,3	0,4	0,2	0,6	0,7	0,8	0,7
t 1·10-4, с	1,6	0,8	0,8	0,6	0,3	0,5	1,1	0,7	4,2	1,2	1,3	1,5	1,9
Δ х, м	0,45	0,40	0,35	0,30	0,25	0,20	0,15	0,10	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50

Решение

1 ).   Период Т, частота , волновое число k, длина  и интенсивность I волны:

а). период волны: Т = , с;

б). частота волны:  = , Гц;

в). волновое число: k = , ;

г). длина волны:  = , м;

д). интенсивность волны: I = A ², .

2). Фаза колебаний смещение скорость  и ускорение  точки, расположенной на расстоянии х₁ от источника колебаний в момент времени t ₁:

а). фаза колебаний в момент времени t ₁: = kx ₁, рад;

б). смещение точки:  = A   kx ₁), м;

в). скорость точки:  =   A kx ₁), ;

г). ускорение точки:  =   A kx ₁), .

3). Максимальные значения скорости  и ускорения  колебаний частиц среды:

а). максимальная скорость:  = │ A │, ;

б). максимальное ускорение:  = │ A │, .

4). Разность фаз Δ  колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на расстоянии Δ х: Δ =  Δ х, рад.

5). График уравнения колебания для точек волны в момент времени t ₁ после начала колебаний:

При t ₁ уравнение волны примет вид:  = A   kx), т.е. получим  = f (x) – различные точки, лежащие на луче, имеют различные смещения в данный момент времени (рис. 37).

х, м

 

Рис. 37.

7. В цепь переменного тока с внешним напряжением U = 220 В и частотой   = 50 Гц включены последовательно ёмкость С,  резистор сопротивлением R и катушка индуктивностью L (рис. 38). Определить:

1). емкостное Х _C, индуктивное X_L и полное (импеданс) Z сопротивления цепи;

2). амплитудные значения внешнего напряжения U _m, силы тока I_m, напряжения на активном сопротивлении U_Rm, напряжения на конденсаторе U_Cm, напряжения на катушке индуктивности U_Lm; действующее значение силы тока I _д в цепи;

3). определить частоту внешнего напряжения U, при которой в цепи наступит резонанс;  действующие значения силы тока и напряжения на всех элементах цепи при резонансе;

4). разность фаз  между силой тока и внешним напряжением; среднюю мощность < P >, выделяемую в цепи;