Каков характер движения этого тела?

2). определить модули угловой скорости  и углового ускорения тела, полное число оборотов N, совершённых телом за время t ₁ = 5 с;

3). определить момент времени t ₂, когда направление вращения тела изменяется на противоположное;

4). построить график зависимости угловой скорости и углового ускорения тела от времени;

5). указать относительное направление векторов угловой скорости  и углового ускорения .

 

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
а, рад/с	5,0	5,0	5,0	3,0	4,0	6,0	6,0	7,0	7,0	7,0	8,0	8,0	8,0
в, рад/с 2	1,0	2,0	3,0	1,0	1,0	2,0	3,0	2,0	3,0	4,0	1,0	2,0	3,0
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
а, рад/с	8,0	8,0	9,0	9,0	9,0	9.0	9,0	10,0	10,0	10.0	10,0	10,0	20,0
в, рад/с 2	4,0	5,0	1,0	2,0	3,0	4,0	5,0	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	1,0

 

Решение:

Общее уравнение равнопеременного вращения:  = 2 N = t + .

1).Характер движения тела:

Т.к. в рассматриваемом случае угловое ускорение  = 2b < 0, то вращение тела равнозамедленное.

2)Модули угловой скорости  и углового ускорения тела, полное число оборотов N, совершённых телом за время t₁ = 5 с:

а). модуль угловой скорости тела:  =  = (at bt²)' = a – 2bt, рад/с,            где  = а, рад/с;

б). модуль углового ускорения:  =  = (a – 2bt)' =  2b, рад/с²;

в). полное число оборотов, совершённых телом за t₁ = 5 с:                                N =  = , оборотов;

3). Момент времени, когда тело останавливается, а затем направление вращения изменяется на противоположное:  = a – 2bt₂ = 0  t₂ = , c.

4). Графики зависимости угловой скорости от времени (рис. 7):

 

 

Рис. 7.

Координате Y соответствует , координате Х t,

точке b   , точке ( )   t ₁.

5). График зависимости углового ускорения от времени (рис. 8):

 

Рис. 8.

Рассматриваемому в задаче случаю соответствует отрицательное угловое ускорение ().

8). Относительное направление векторов угловой скорости  и углового ускорения  (рис. 9):

.

Рис. 9.

Динамика материальной точки

4. Имеется длинный тонкий однородный стержень массой М и длиной l. Материальная частица массой m (m  М) в начальный момент времени находится на оси стержня на расстоянии x _o = l от одного из его концов (точка А на рис. 10) и имеет начальную скорость, равную нулю (  = 0). Определить:

1). напряжённость  гравитационного поля и силу (модуль F и вектор ), действующую на материальную частицу в точке А;

2). потенциалы  гравитационного поля в точках А (x _o = l) и B (x ₁ = b) и значения её потенциальной энергии в этих точках;

3). скорость, ускорение и значение кинетической энергии материальной частицы в точке В;

4). работу, совершённую силами гравитационного поля при перемещении материальной частицы из точки А (x _o = l) в точку В (x ₁ = b);

5).построить графики зависимости напряжённости и потенциала гравитационного поля от расстояния:  = (  и  = .

Примечание: при решении задания учесть, что напряжённость G и потенциал   гравитационного поля, созданного материальной точкой массы m, удалённой на расстояние r от этой массы, выражаются формулами: G = ;  =   ,              где  = 6,67  10^-11  - гравитационная постоянная.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
М, кг	50	45	40	35	30	25	20	15	10	15	20	25	30
m, г	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	2	3	4
xo, м	3,0	2,5	2,0	3,5	4,0	0,5	0,4	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
b, м	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,2	0,3	0,4
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
М, кг	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	100
m, г	5	6	7	8	9	10	1	2	3	4	5	6	7
xo, м	2,0	1,5	1,0	2,0	3,0	4,0	3,5	3,0	2,5	2,0	1,6	1,7	1,8
b, м	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,2	1,3	1,4	1,5	0,4	0,5	0,6

 

                                                                                     

 

Рис.10.

Решение:

В данном задании рассматривается гравитационное взаимодействие протяжённого тела (стержня) и материальной частицы массой m.

Мысленно разделим стержень на столь малые части, чтобы каждую из них можно было принять за материальную точку. Рассмотрим один такой элемент длиной dx, находящийся на расстоянии x от произвольной точки А на оси стержня (рис. 9).

Масса элемента dx: dm = S dx, где  - плотность материала стержня, S – плотность сечения стержня. Тогда масса всего стержня: M = S l.

Гравитационное поле – поле потенциальное.

1). Напряжённость  гравитационного поля и сила (модуль F и вектор ), действующая на материальную частицу в точке  А:

а). напряжённость гравитационного поля:

Напряжённость гравитационного поля, создаваемого элементом dx на расстоянии x:   dG =  = .

Напряжённость гравитационного поля всего стержня  в точке А:

G =  = =  =  ( ) =

=  = =  =   м/с ².

б). сила (модуль F и вектор ), действующая на материальную частицу в т. А:

F = mG = , Н;  = ,

где  – единичный вектор, направленный вдоль оси ОХ; знак «» показывает, что вектор  силы направлен в точке  А в сторону, противоположную направлению оси ОХ.

2). Потенциалы  гравитационного поля в точках А (x _o = l) и B (x ₁ = b) и значения её потенциальной энергии в этих точках:

а). потенциал гравитационного поля:

Потенциал гравитационного поля, создаваемый элементом dx, на расстояни и x:

d  =  = .

Потенциал гравитационного поля, создаваемый элементом dx,  в точке  А:

 =  =  =   ln | x |  =  [ ln |l+ x ₀| ln | x ₀|] =   ln | |=   ln |1 + | =   ln |1 + | = ln |1 + | =   ln 2, м ²/ с ².

По аналогии потенциал гравитационного поля, создаваемый элементом dx,  в  точке  В:  =   ln |1 + |, м ²/ с ².

б). потенциальная энергия материальной частицы:   W _п = m  = ln |1 + |

- в точке А: W _пА =  l n |1 + | =   ln 2, Дж.

 - в точке В: W _пВ = ln |1 + |, Дж.

3). Скорость, ускорение и значение кинетической энергии материальной частицы в точкеВ:

а). скорость и кинетическая энергия материальной частицы в точке В:

Скорость материальной частицы найдём из закона сохранения энергии в механике: W = W _пВ + W _к,

где W = ln | 1 + | = ln 2полная механическая энергия материальной частицы; W _пВ = ln | 1 + | - потенциальная энергия материальной частицы в т. В; W _к =  – кинетическая энергия материальной частицы.

Получаем:  =   ln 2 +   ln |1 + | = ln  (1 +  

 = , м/с.

б). ускорение материальной частицы: a =  =  = , м/с ².

4). Работа, совершённая силами гравитационного поля при перемещении материальной частицы из точки А (x _o = l) в точку В (x ₁ = b):

A = W _пВ W _пА = W _пВ = ln |1 + | ln 2 = ln ,, Дж.

5). Графики зависимости напряжённости и потенциала гравитационного поля от расстояния:  = (   и  = (рис. 12):

                               

                                                          G

Рис. 11.

Рис. 12.

5. На обод маховика в форме однородного сплошного диска массой m ₁ и радиусом R намотана лёгкая нить, к концу которой прикреплён груз массой m ₂. Уравнение вращения маховика:   До начала вращения маховика высота груза над полом составляла h (рис. 13). Определить:

1). тангенциальное ускорение и линейную скорость, нормальное и полное ускорения точек обода маховика; время опускания груза до пола; кинетическую энергию груза в момент удара о пол;

2). угловую скорость и угловое ускорение маховика;

3). силу натяжения нити с грузом; работу силы натяжения по опусканию груза на пол;