Построить графики зависимости скорости, ускорения и пути, пройдённого точкой, от времени.

 

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
А, м	1,0	1,5	2,0	1,0	2,0	2,5	1,0	1,5	3,0	3,5	1,0	4,0	2,0
В, м	1,0	1,5	1,0	2,0	1,5	1,0	2,5	1,0	1,5	1,0	3,0	2,0	3,0
С, м	1,2	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,0	5,5	5,0	4,5
D, м	1,0	1,0	1,0	1,0	1,5	1,0	1,0	2,0	1,5	2,0	1,5	2,5	3,0
Е, с	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0
F, c	0	1,0	1,0	1,0	1,0	0	0	1,0	2,0	2,0	1,0	1,5	0
K, c	3,0	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5	6,0	7,0	6,5	7,0	6,5	7,0
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
А, м	2,5	2,0	1,0	1,5	3,0	3,5	4,0	4,5	3,5	5,0	1,0	2,0	5,0
В, м	3,0	3,0	3,0	3,0	3.0	3,0	3.0	3,0	3,5	3,0	6,0	6,0	1,0
С, м	2,0	2,5	3.0	3,5	4.0	4,5	5,0	5,5	6,0	2,0	6.0	6,0	6,0
D, м	1,5	2,0	1,0	0	0	1,0	1,5	2.0	3.0	1,0	2,0	3.0	4.0
Е, с	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	10,0	10,5	11,0	11,5	12,0	12,5	13,0	13,5
F, c	1,0	2,0	0	0	1,0	2,0	2,0	2,5	3,0	2.0	1,0	3,0	4,0
K, c	7,5	8,0	8,5	9,0	9,5	10.0	10,5	11,0	11,5	12.0	12,5	13,0	13,5

 

Решение:

1). Модули скорости и ускорения точки в момент времени t :

а). скорость точки в момент времени t':

 = x' = (At² + B)' = 2At;  = (Ct²  D)' = 2Ct.

 =  =  = 2t  = 2E , м/с.

б). ускорение точки в момент времени t':

a_x =  = (2At)' = 2A; a_y =  (2Ct)' = 2C.

a =  =  = 2 , м/с².

2). Путь, пройдённый точкой в моменты времени от t₁ до t₂:

S= = = = t² =      = (K²  F²), м.

3). Средняя скорость точки:

< > =  =  (K²  F²) =  (K + F) (K  F) = (K  F), м/с.

 

4). Траектория движения точки:

Для нахождения уравнения траектории движения точки найдём  функциональную зависимость y = f(x).

x = At² + B  At² = x  B t =

С другой стороны: y = Ct²  D = С( ²  D = C  D= x  D             y = x  D).

Т.е. имеем зависимость вида: y = kx - b – линейная зависимость, где k = ; b = ; tg  = (рис.1).

Траектория точки - прямая y = x  D ), расположенная в плоскости XY, направленая из третьего через четвёртый в первый квадрант. При x = 0   y =  D); при y = 0 x  D = 0 x =  D  x = .

 

Рис. 1.

Начало движения при t= 0 происходит из точки с координатами: x₀ = B, м; y₀ =  D, м.

5). График зависимости скорости, ускорения и пути, пройдённого точкой, от времени:

а). График зависимости скорости от времени (рис.2):

Согласно пункту 1:  = 2  t, т.е. это график зависимости вида:                y = kx + b – линейная зависимость, т.е.  =  + at, где  = 0.

Рис. 2.

б). График зависимости ускорения от времени (рис.3):

Согласно пункту 2: a_x = 2C = const.

Рис. 3.

в). График зависимости пути от времени (рис. 4):

Согласно пункту 3: S= t², т.е. это график зависимости вида:    y =  ax² – парабола.

Рис. 4.

5). Траектория движения точки:

Для нахождения уравнения траектории движения точки найдём  функциональную зависимость y = f(x).

x = At² + B  At² = x  B t =

С другой стороны: y = Ct²  D = С( ²  D = C  D= x  D             y = x  D).

Т.е. имеем зависимость вида: y = kx - b – линейная зависимость, где k = ; b = ; tg  = (рис.5).

Траектория точки - прямая y = x  D ), расположенная в плоскости XY, направленая из третьего через четвёртый в первый квадрант. При x = 0   y =  D); при y = 0 x  D = 0 x =  D  x = .

 

Рис. 5.

Начало движения при t= 0 происходит из точки с координатами: x₀ = B, м; y₀ =  D, м.

2. Радиус-вектор материальной точки относительно начала координат                         изменяется со временем по закону:  = b t  + c .

1). получить уравнение траектории точки;

2). построить график траектории точки в промежуток времени от t ₀ = 0 до   t = 5 c;

3). определить модуль скорости точки в начале координат  (x ₀, y ₀);

4). определить модули тангенциального, нормального и полного ускорений точки в начале координат  (x ₀ = 0, y ₀ = 0);

5). определить радиус кривизны траектории точки в начале координат         (x ₀, y ₀)_.

Числовые значения параметров задачи

№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
b, м/с	1,0	2,0	1,5	1,0	1,5	2.0	2.5	1.0	2,5	1.5	2,5	2.0	2,5
с, м/с 2	2.0	,01	1,0	1,5	1,5	2,0	1.0	2.5	1,5	2.5	2,0	2.5	3,0
№ варианта	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
b, м/с	3,0	3,0	1,0	3,0	2,0	2,5	3,5	1,0	3,5	2,0	4.0	3,0	4.0
с, м/с 2	2,5	1,0	3,0	2,0	3,0	3,0	1,0	3,5	2,0	3,5	3,0	4,0	5,0

 

Решение:

В общем случае радиус-вектор движущейся точки:  = x  + y , тогда в рассматриваемой задаче: x = bt; y = ct ².

1). Уравнение траектории точки: x = b t t = , тогда   y = ct ² =   x ². Т.о., траектория точки – парабола вида y = kx ² (рис. 6).

2). График траектории точки в промежуток времени от t₀ = 0 до t = 5 c:

Рис. 6.

3). Модуль скорости точки:  = x' = (bt)' = b, м/с; = y' = (ct²)' =         2ct, м/с.

 =  = , м/с. В начале координат (x₀, y₀) t₀ = 0, тогда  = b, м/с. 

4). Модули ускорения точки:

а).тангенциального ускорения:  = а_x =  = b' = 0, м/с².

б). нормального ускорения: a_n = a_y =  = (2ct)' = 2c, м/с².

в).полного ускорения: а =  =  = 2c, м/с².

5). Радиус кривизны траектории точки в начале координат (x₀, y₀):         

a_n = R =  = , м.

3. Твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси Z по закону:  = at bt ²: