Уравнение Бернулли для установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости

     При выводе уравнения Бернулли возьмем за исходную основу систему дифференциальных уравнений движения Эйлера и умножим левую и правую части каждой из компонент на дифференциал соответствующей переменной:                                                                      

Также допустим, что из массовых сил действуют только силы

тяжести, откуда компоненты вектора ускорения становятся равными:

 X = 0, Y = 0, Z = - g

Вектор ускорения силы тяжести направлен вертикально вниз и поэтому дает  проекцию только на ось z   со знаком «-».

После умножения обеих частей уравнений на dx, dy, и dz и сложения по отдельности левых и правых частей уравнений получим:

Поскольку dx / dt = υ_{м x}, dy / dt = υ_{м y}, dz / dt = υ_{м z}, а выражение в скобках - полный дифференциал давления p = p (x, y, z) для установившегося движения, то:

Квадрат модуля вектора скорости выражается в трехмерном пространстве как  υ² = υ_х² + υ_y² + υ_z².  После дифференцирования этого выражения получаем: d(υ²) = 2υ_х· dυ_х + 2υ_y · dυ_y + 2υ_z · dυ_z. Таким образом, левая часть нашего уравнения движения представляет собой полный дифференциал d(υ²/2). Поскольку для элементарной струйки υ _м  = υ _ср ≡ υ, тов обобщенном виде можно записать:

Отсюда интегрирование вдоль пути элементарной струйки позволяет перейти к уравнению Бернулли для установившегося движения элементарной струйки идеальной жидкости:

  Это уравнение удобнее использовать в другой форме – после деления обеих частей на g:

Каждый член левой части уравнения представляет собой определенный вид напора. Напором в гидравлике называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости. Здесь:

z – геометрический напор (удельная потенциальная энергия положения или удельная потенциальная энергия сил тяжести);

p/ ρ g – пьезометрический напор (удельная потенциальная энергия сил давления);

Их сумма z + p/ ρ g  представляет собой статический напор;

υ ²/2g – скоростной или динамический напор (удельная кинетическая энергия), а сумма всех трех слагаемых – полный или гидродинамический напор (полная удельная механическая энергия).

Из уравнения Бернулли следует, что сумма геометрического, пьезометрического и скоростного напоров в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости есть величина постоянная. Отсюда для двух любых (произвольных) сечений можно записать:

Физический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что оно выражает закон сохранения и превращения механической энергии применительно к элементарной струйке движущейся идеальной жидкости. При этом размерность  напора  соответствует  размерности  длины:

                                 [h] = [Н·м/Н] = [м].

Таким образом, напор можно графически представить в виде отрезка прямой определенной длины. Поэтому уравнение Бернулли можно выразить в виде линейной диаграммы, которая представляет собой наглядную форму геометрической интерпретации данного уравнения.

Следствие из уравнения Бернулли – изменение одного из видов напора вызывает соответствующее (обратное по знаку и равное по величине) изменение других видов напора.