C илы и напряжения, действующие в жидкостях

    Жидкость может двигаться или находиться в равновесии под действием приложенных внешних сил (внутреннее молекулярное движение в гидравлике в расчет не принимается). Поскольку жидкость обладает большой подвижностью частиц, она не способна сопротивляться действию сосредоточенных сил; силы должны быть распределены либо по поверхности жидкости, либо по ее массе (объему). Соответственно, различают два класса сил - поверхностные (пропорциональные площади поверхности жидкости) и массовые (пропорциональные массе жидкости). К поверхностным силам относятся силы давления и трения, к массовым - сила тяжести, центробежная сила, сила инерции. Поверхностные силы обусловлены непосредственным воздействием соседних объемов жидкости на данный объем или воздействием других тел (твердых или газообразных), граничащих с данной жидкостью. В общем случае поверхностная сила ΔFможет быть разложена на две составляющие- нормальную к площадке ΔS и тангенциальную (рис. 8). Первая – ΔP -  является силой давления, вторая – ΔT - силой трения.

         Поверхностная сила, отнесенная к единице поверхности, называется напряжением поверхностной силы. Нормальное напряжение (т.е. напряжение силы давления) называют гидродинамическим давлением или просто давлением. В общем случае:                      

 

 

     А напряжение силы трения численно равно напряжению сдвига:

 

 

Рис. 8. Поверхностные силы, 

           действующие в жидкости         (пояснения – в тексте).

 

           

ГЛАВА 2. Основные законы гидравлики

 

1.6. Уравнения расхода для элементарной струйки

И потока жидкости

 

                                                                                                                                                                                        

     Пусть элементарная струйка имеет живое сечение dS и в данный момент времени занимает положение 1 (рис. 9). Через время dt сечение dS перемещается в направлении скорости υ и занимает новое положение 1' (все жидкие частицы в сечении dS имеют одинаковую скорость υ согласно струйной модели). За время dt сечение dS проходит путь, равный dl.

                                                                 Определим расход жидкости

Рис. 9. Иллюстрация                                                      через сечение dS:    

к выводу уравнения 

объемного расхода                                   ,

 

где dV - объем жидкости, заключенный между положением 1 и 1'. 

 Поскольку объем цилиндрического тела dV = dS · d ℓ, то

 

 

                      

  Таким образом получаем   уравнение объемного расходадля элементарной струйки:

 

      Согласно струйной модели, поток жидкости представляет собой совокупность множества элементарных струек, поэтому:

 

                                

где υ_м - местные скорости в сечении S (скорости различных элементарных струек). Интеграл можно взять, если известен закон распределения местных скоростей по сечению потока.     Этот закон теоретически определен только для ламинарного потока, поэтому в гидравлике при выводе общего выражения для Q используется упрощение – вводится  средняя скорость по сечению потока, с помощью которой определяется уравнение расхода для потока жидкости:

                             

 

                                  

                             где             (см. раздел 1.23)  

 

      Таким образом, υ - это условная, постоянная для данного сечения (средняя) скорость потока, которая обеспечивает такой же расход, как и при реальном распределении скоростей. В гидравлических расчетах используют именно среднюю скорость, поскольку определение местных скоростей весьма затруднительно. Кроме того, для элементарной струйки можно считать υ _м  = υ _ср ≡ υ.

 

1.7. Дифференциальные уравнения неразрывности. Уравнение неразрывности для потока

Несжимаемой жидкости

Уравнения неразрывности для элементарной струйки и одномерного потока жидкости.

Рис. 10. Иллюстрация к выводу уравнения неразрывности

для элементарной струйки

 

    Выберем в элементарной струйке два сечения 1 и 2 (живые сечения dS ₁ и dS ₂) на конечном расстоянии друг от друга (рис. 10). Согласно струйной модели потока, параметры движущейся жидкости (скорость, плотность) изменяются только по одной координате (вдоль пути струйки, и тогда υ _м = υ). Через время dt сечение 1 смещается в положение 1', а сечение 2 - в положение 2'. Тогда масса жидкости, вошедшей в объем между сечениями 1 и 2:

 

dm₁ = dM₁ · dt = ρ₁ υ ₁ · dS₁· dt

 

а масса жидкости, вышедшей из объема между сечениями 1 и 2:

 

dm ₂ = dM ₂ · dt = ρ ₂ υ ₂ ∙ dS ₂ · dt

 

     Согласно закону сохранения массы, а также благодаря одному из свойств элементарной струйки (непроницаемости ее стенок) можно констатировать, что dm ₁ = dm ₂, откуда

 

ρ ₁ υ ₁ · dS ₁ ∙ dt = ρ ₂ υ ₂ · dS ₂ ∙ dt

 

После сокращения получаем уравнение неразрывности для элементарной струйки сжимаемой жидкости:

 

ρ ₁ υ ₁ · dS ₁ = ρ ₂ υ ₂ · dS ₂  

 

       Для несжимаемой жидкости ρ ₁ = ρ ₂ = const, поэтому

 

υ ₁ · dS ₁ = υ ₂ · dS ₂        (*)

 

Чтобы перейти к потоку жидкости, нужно проинтегрировать каждое из сечений по всем элементарным струйкам, проходящим через них. При этом необходимо помнить, что у каждой из струек скорость своя и единственная, хотя в рамках потока она одна из многих – т.е. местная (υ _м). С учетом этого интегрируем левую часть уравнения (*) по площади S ₁, а правую часть - по площади S ₂:

 

∫ υ _1м · dS ₁ = ∫ υ _2м · dS ₂   

                                    s₁                       s₂

   И после перехода от местных к средним скоростям по потоку (т.е. по всем элементарным струйкам), которые представляют собой константы для каждого из сечений 1 и 2, и интегрирования по сечениям dS ₁ и · dS ₂, получаем уравнение неразрывности для одномерного потока несжимаемой жидкости:

υ ₁ · S ₁ = υ ₂ · S ₂

                 Его следствие:     , т.е.

средние скорости обратно пропорциональны площадям живых сечений потока. Индекс “ср”, как уже указывалось, в практических приложениях обычно опускают.

Физический смысл уравнения неразрывности состоит в том, что он является проявлением закона сохранения массы для потока жидкости.

Дифференциальные уравнения неразрывности для трехмерного течения жидкости. Для трехмерного течения и неустановившегося движения справедливо:

,       ρ = ρ(х,y,z,t)

Рис. 1 1. Иллюстрация к выводу уравнения неразрывности

для трехмерного течения жидкости

 

Выделим внутри потока жидкости неподвижный элементарный параллелепипед (рис. 11) с ребрами dx, dy, dz.  Согласно и аналогично полученному нами уравнению расхода для элементарной струйки, массовый расход жидкости, входящей в левую грань элементарного параллелепипеда (в направлении оси x) составит:

 

                                        dM ₁ = ρ υ _{м x} · dS = ρ υ _{м x} ∙ dydz

 

Тогда масса жидкости, вошедшей в левую грань за время dt:

 

dm ₁ = dM ₁ · dt = ρ υ _{м x} ∙ dx dy dz dt

      На противоположной (правой) грани параллелепипеда скорость жидкости и ее плотность могут измениться, поэтому массу жидкости, вышедшей из правой грани, следует  записать:

 

 

 

Отсюда изменение массы в объеме параллелепипеда в направлении оси x:

По аналогии изменение массы в направлениях осей y и z:

Полное изменение массы в объеме параллелепипеда:

 

C другой стороны, исходя из определения плотности как предела отношения массы к объему, изменение массы dm в объеме параллелепипеда может быть представлено как конечное изменение плотности жидкости за время ее пребывания  в фиксированном бесконечно малом объеме:

           Приравняем  два варианта выражения для dm:

 

                     

         После сокращения получаем дифференциальное уравнение неразрывности для неустановившегося движения сжимаемой жидкости:

      

 

  Для установившегося движения ∂ρ/∂ t = 0 (плотность не изменяется во времени). Для несжимаемой жидкости плотность не изменяется не только во времени, но и в пространстве (ρ = const), поэтому уравнение упрощается и переходит в дифференциальное уравнение неразрывности для установившегося движения несжимаемой (капельной) жидкости:

 

Дифференциальные уравнения движения

   вязкой несжимаемой  и идеальной жидкостей

 

Рассмотрим трехмерное неустановившееся ламинарное течение вязкой  жидкости.  В  этом  случае все гидравлические параметры потока и касательные напряжения сдвига являются функциями трех пространственных координат и времени.     

Рис. 12. Динамика движения жидкости в потоке

 

Выделим в массе движущейся жидкости неподвижный элементарный параллелепипед с длиной ребер dx, dy, dz (рис. 12). Масса жидкости в объеме параллелепипеда:

 

dm = ρ · dV = ρ ∙ dx dy dz

 

Используем основной принцип динамики: сумма сил, действующих на тело (в данном случае – на жидкость в объеме параллелепипеда) равна произведению его массы на ускорение, полученное в результате действия данных сил:

 

                                                         

 

Рассмотрим данное уравнение в скалярной форме (в проекции на одну из осей координат – например, ось x):

 

 

где dM_x -проекция массовых сил на ось х;

      dP_x – проекция сил давления на ось х;

      dT_x – проекция сил вязкого трения на ось х.

 

При этом массовые силы пропорциональны массе жидкости и по закону Ньютона:

dM_x = dm · X

 

где Х – проекция ускорения массовых сил на ось х. Соответственно:

 

dM_y = dm · Y;    dM_z = dm · Z.

 

Силы давления действуют по всем граням параллелепипеда, однако эти силы (кроме dP₁ и dP₂) перпендикулярны оси х, поэтому их проекции на ось х равны 0 (мы их не изобразили на схеме, чтобы не перегружать чертеж). Но сила давления, действующая на левую грань, равна

dP ₁ = p · dS = p · dy dz

 

    При переходе жидкости из левой грани в правую (в направлении оси х) давление изменяется, что в дифференциальной форме может быть записано как p + (∂ p /∂ x) · dx, из чего следует:

 

 

 

Это позволяет найти равнодействующую сил давления в направлении оси х:

             

    В общем случае  при движении вязкой жидкости по всем граням параллелепипеда возникают касательные силы (силы вязкого трения).

 В направлении оси х действуют только dT₁ и dT₂ (остальные силы дадут проекции, равные 0, поэтому на схеме не изображены):

 

dT ₁ = τ · dx dy;

Записанные выражения справедливы лишь для одномерного течения (мы полагали, что υ _{м х}   изменяется только по координате z).

Для дальнейшего их обсуждения обратимся к закону вязкого трения:

                                

               

               Рис. 1 3. Схема послойного течения жидкости

Исходя из модели послойного (ламинарного) течения жидкости (рис. 13) закон вязкого трения  можно записать в виде:

 

Для поля скоростей, изображенного на схеме, сила трения dT₂ направлена слева направо, поскольку слой жидкости, движущейся над параллелепипедом, стремится сдвинуть параллелепипед в направлении скорости υ_x.

Сила трения dT₁ направлена в обратную сторону, так как слой жидкости, движущейся под параллелепипедом, имеет меньшую скорость и подтормаживает жидкость на нижней грани параллелепипеда. При этом равнодействующая сил вязкого трения в направлении оси х   равна:

     

                                                      

  Имея в виду, что в общем случае течение может быть трехмерным, получаем:

 

Подставляем значения проекций сил в основное уравнение:

 

Поскольку    dm  = ρ ∙ dx dy dz,   то в случае   несжимаемой  жидкости, когда   ρ = const,   получаем   возможность   делить   на

  ρ ∙ dx dy dz.  Отсюда  (c учетом того, что   μ/ρ = ν):

 

 

Здесь выражение в скобках – оператор Лапласа, поэтому более компактно дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в проекциях на все три координатные оси можно записать в виде:

 

 

 

Полученная система уравнений (ее называют также уравнениями Навье - Стокса) не имеет общего решения, однако может быть использована:

1. Для решения наиболее простых гидродинамических задач;

2. Для постановки и решения более сложных задач численными методами с помощью современных компьютеров;  

3. Для получения критериев гидродинамического подобия.

 

Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости (уравнения Эйлера). В  идеальной  жидкости  вязкость  отсутствует (ν = 0), поэтому последний член правой части уравнений Навье – Стокса становится равным 0. В результате уравнения упрощаются (переходят в систему уравнений движения Эйлера):

 

Интегрирование данной системы дифференциальных уравнений приводит к получению важнейшего уравнения гидродинамики – уравнения Бернулли.