Сила давления жидкости на поверхность

 

Рассмотрим следующие типичные ситуации:

 

а) плоская горизонтальная поверхность (рис. 20):

                                                

Поскольку p = P / S, то в данном случае

 

P = p · S = (р_о + ρ gH) · S.

Давление p одинаково для любой точки

горизонтального дна резервуара,

поэтому сила давления жидкости на дно

равняется:

 

P = (р_о + ρ g H) · S

Рис. 20. Схема для расчета механического воздействия жидкости

         на   плоскую  горизонтальную поверхность

 

б) плоская наклонная поверхность (например, боковая стенка резервуара).  Пусть плоская стенка (рис. 21) расположена под углом α к горизонту (следовательно, к уровню или свободной поверхности жидкости) и перпендикулярно плоскости чертежа, поэтому проектируется  в отрезок [a, в]. Если мы повернем эту стенку на 90⁰  и совместим с плоскостью чертежа, она даст проекцию в натуральную величину (форма может быть произвольной). Сила  давления  на  нее P = p · S, однако неизвестно давление р, которое необходимо подставить в формулу.  

 

   

Рис. 21.  Схема для расчета  механического  воздействия  жидкости

          на плоскую наклонную поверхность

 

 

В отличие от предыдущего случая, давление в разных точках наклонной поверхности будет разным (оно зависит от глубины погружения точки). Выделим на поверхности S элементарную площадь dS (полоску шириной dy). Текущая координата, определяющая положение элементарной площади – y.  Можно считать, что глубина погружения всех точек площади dS равна h (поскольку ширина полоски dy – бесконечно малая величина).

Чтобы определить силу давления жидкости на всю поверхность S, необходимо просуммировать силы, действующие на полоски бесконечно малой ширины, из которых состоит данная поверхность.

Для этого предварительно найдем силу давления на выделенный элемент dS:

dP = p · dS = (р_о + ρ gh) · dS

 для  чего выразим   h  через текущую координату y: h = y · sinα.

Теперь появляется возможность просуммировать силы, действующие на полоски бесконечно малой ширины по всей площади данной поверхности:

 

P = ∫ dP = ∫ (р_о + ρgy ∙ sinα) dS = ∫ р_о dS + ∫ ρgy ∙ sinα · dS

             ^{S              S                                                   S                        S}

       ∫ р_о ∙ dS = р_о ∙ S (так  как р_о – постоянная величина для любой  

     ^S                                       точки поверхности S).

 

∫ ρgy ∙ sinα · dS = ρg ∙ sinα ∫ y · dS = ρg · sinα · y _ц.т · S,

                   ^{S                                                                 S}

(поскольку из курса механики известно, что ∫ y · dS = y _ц.т. · S,

                                                                   ^S

где y_ц.т  – координата центра тяжести поверхности S).

 

В результате P = (р_о + ρ gh _ц.т.) · S = p _ц.т. · S, т.е. искомая сила давления    

                                                 P = p _ц.т. · S

Полную силу давления P можно представить как  P = P_о + P_в, где P_о - сила внешнего давления на поверхность жидкости, P_в – сила весового давления (столба жидкости).

Сила P_о равномерно распределена по поверхности S, поэтому она приложена к центру тяжести этой поверхности. Сила P_в распределена неровно по поверхности S (в нижней части поверхности S давление больше, чем в верхней), поэтому точка приложения равнодействующей силы весового давления P_в смещена относительно центра тяжести поверхности S и называется центром давления. Точка приложения полной силы давления Р может быть найдена по правилам механики как точка приложения равнодействующей двух сил – P_о и P_в.

 

Относительный покой жидкости

Во вращающемся резервуаре

 

Рассмотрим резервуар, вращающийся относительно вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω (рис. 22). Под действием центробежных сил жидкость уходит от центра к периферии, поднимаясь по стенкам резервуара, и затем останавливается на определенной высоте (чем  выше скорость вращения, Рис. 22. Структурно-динамическая схема         тем больше высота).

         вращения жидкости в резервуаре

 

 Форма свободной поверхности изменяется (становится криволинейной);  вершина образующейся воронки лежит на высоте Н относительно начала осей координат.  

     В качестве исходного выражения для дальнейшего анализа воспользуемся дифференциальным уравнением относительного покоя (равновесия):

dp = ρ (X · dx + Y · dy + Z · dz)

 

Из массовых сил в данном случае следует учитывать силы тяжести и центробежные. Для последних справедливо: 

  

dC = dm · a

 

где C – центробежная сила, dm – масса элементарного объема, a – ускорение центробежной силы, которое равно: 

 

 

где u – линейная скорость вращения, r – расстояние до оси вращения, ω  - угловая скорость вращения, а соответствующие проекции ускорения центробежной силы на   оси х и y (плоскость вращения):

                      

                                    X _ц.б. = а_х = ω ² · r _х = ω ² · х

Y _ц.б. = а _y = ω ² · r_y = ω ² · y

 

     Проекция ускорения центробежной силы на ось z (она же – ось вращения) равна нулю (Z_ц.б. = 0). Наоборот, при ориентации ускорения  силы тяжести (Z_т) вдоль оси z  ее проекции на плоскость вращения оказываются равными нулю, а на ось z эта проекция равна Z _т = - g (знак минус – следствие противоположной ориентации относительно друг друга оси z и силы тяжести (гравитации)). Следовательно, сумма проекций всех массовых сил на соответствующие оси будет следующей:

 

                                                Х = ω ² · х

(поскольку вектор ускорения силы тяжести дает на ось x проекцию, равную нулю, то и их сумма с проекцией ускорения центробежной силы становится равной последней). Аналогично: 

 

Y = ω ² · y

В то же время Z = Z _т = - g, поскольку, как уже отмечалось, вектор ускорения центробежной силы дает на ось z проекцию, равную нулю.

После подстановки полученных значений X, Y, Z в исходное уравнение получаем:

dp = ρ (ω ² · x · dx + ω ² · y · dy  - gdz)

и с учетом того, что x · dx = d ( x² /2), y · dy = d (y ² /2), выражение для закона распределения давления по объему жидкости в резервуаре в интегральной форме приобретает следующий вид:

 

      Постоянную c найдем из граничного условия (для точки А):

  p = p _о при х = 0; y = 0; z = H,   откуда c  = p _о + ρgH, и искомое соотношение выглядит так:

      Определим форму свободной поверхности жидкости во вращающемся резервуаре. Будем исходить из того, что давление в любой точке свободной поверхности равно p_о. Отсюда, рассматривая полученное дифференциальное  уравнение,  находим, что данное условие, соответствующее свободной поверхности, выполняется при  dp = 0. Но так как   ρ ≠ 0, то это  означает, что на свободной поверхности справедливо:  

 

ω ² _x · dx + ω ² _y · dy – g dz = 0.

Проинтегрировав  данное дифференциальное уравнение, получаем:

 

Константу с определим из граничного условия (для точки А):

 

x = 0, y = 0, z = H, откуда c = - gH.

 

Используя явное значение с и  деля обе части на g, находим:

 

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболоида вращения.