Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.).

Итак, на систему, находящуюся в состоянии S_i, действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит переход системы из состояния S_i в состояние S_j. На графе состояний этот переход обозначается дугой со стрелкой S_i ® S_j).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности потока событий, который переводит систему по данной дуге из состояния S_i в S_j. Такой граф называется размеченным. Для примера выше размеченный граф приведен на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Размеченный граф состояний системы: l – интенсивность потока отказов; m – интенсивность восстановлений

Предположим, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т. е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.

Пусть система находится в состоянии S ₀. В состояние S ₁ ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна

l₀₁ = 1/ Т _{ср.раб.1}, ед. времени ^{– 1},

где Т _{ср.раб.1} – среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S ₁ в S ₀ систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна

m₁₀ = 1/ Т _{ср.рем.1}, ед. времени ^{– 1},

где Т _{ср.рем.1} – среднее время ремонта первого станка.

Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам графа, после чего строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний
S ₁, S ₂,…, S_n. Вероятность i -го состояния р_i (t) – это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S_i. Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:

.

При t ® ¥ вероятности состояний р ₁(t), р ₂(t), … могут также стремиться к каким-либо пределам. Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний

где n – конечное число состояний системы.

Финальная вероятность состояния S_i – это среднее относительное время пребывания системы в i -м состоянии. Очевидно, что

.

Например, система S имеет три состояния S ₁, S ₂ и S ₃. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S ₁, 3/10 – в состоянии S ₂ и 5/10 – в состоянии S ₃.

Для нахождения всех вероятностей состояний р_i (t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова, т. е. уравнения особого вида, в которых неизвестными функциями являются финальные вероятности состояний.

Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния р_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i -е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений:

Эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием

р ₀ + р ₁ + р ₂ + р ₃ = 1

и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Пусть значения интенсивностей потоков равны:

l₀₁ = l₂₃ = 1; l₁₃ = l₀₂ = 2; m₁₀ = m₃₂ = 2; m₂₀ = m₃₁ = 3.

Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:

;

р ₀ = 6/15 = 0,4; р ₁ = 3/15 = 0,2; р ₂ = 4/15 @ 0,27; р ₃ = 2/15 @ 0,13.

Т. е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем будет проводить 40 % времени в состоянии S ₀ (оба станка исправны); 20 % в состоянии S ₁ (первый станок ремонтируется, второй работает); 27 % в состоянии S ₂ (второй станок ремонтируется, первый работает); 13 % в состоянии S ₃ (оба станка ремонтируются).

Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S ₀ (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S ₁ – доход 3 условные единицы, в состоянии S ₂ – доход 5 условных единиц, в состоянии S ₃ – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен

W = 0,4 ´ 8 + 0,2 ´ 3 + 0,27 ´ 5 = 5,15 условных единиц.

Станок 1 ремонтируется долю времени, равную р ₁ + р ₃ = 0,2 + 0,13 = 0,33. Станок 2 ремонтируется долю времени, равную р ₂ + р ₃ = 0,27 + 0,13 = 0,4. Есть возможность уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), на что будет затрачена определённая сумма. Возникает задача оптимизации. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Решение задачи сводится к решению системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными.