Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний — КиберПедия 

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний



Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т. д.).

Итак, на систему, находящуюся в состоянии Si, действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока, происходит переход системы из состояния Si в состояние Sj. На графе состояний этот переход обозначается дугой со стрелкой Si ® Sj).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности потока событий, который переводит систему по данной дуге из состояния Si в Sj. Такой граф называется размеченным. Для примера выше размеченный граф приведен на рис. 4.3.

 

Рис. 4.3. Размеченный граф состояний системы: l – интенсивность потока отказов; m – интенсивность восстановлений

Предположим, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т. е. ремонтом каждого станка занят отдельный специалист.

Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна

l01 = 1/Тср.раб.1, ед. времени – 1,

где Тср.раб.1 – среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна

m10 = 1/Тср.рем.1, ед. времени – 1,

где Тср.рем.1 – среднее время ремонта первого станка.

Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящих систему по всем дугам графа, после чего строится математическая модель данного процесса.

Пусть рассматриваемая система S имеет n возможных состояний
S1, S2,…, Sn. Вероятность i-го состояния рi(t) – это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для любого момента времени сумма всех вероятностей состояний равна единице:

.

При t ® ¥ вероятности состояний р1(t), р2(t), … могут также стремиться к каким-либо пределам. Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний

где n – конечное число состояний системы.

Финальная вероятность состояния Si – это среднее относительное время пребывания системы в i-м состоянии. Очевидно, что

.

Например, система S имеет три состояния S1, S2 и S3. Их финальные вероятности равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Это значит, что система в предельном стационарном состоянии в среднем 2/10 времени проводит в состоянии S1, 3/10 – в состоянии S2 и 5/10 – в состоянии S3.



Для нахождения всех вероятностей состояний рi(t) как функций времени составляются и решаются уравнения Колмогорова, т. е. уравнения особого вида, в которых неизвестными функциями являются финальные вероятности состояний.

Правило составления системы уравнений Колмогорова: в каждом уравнении системы в левой его части стоит финальная вероятность данного состояния рi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой его части – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i-е состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пользуясь этим правилом, напишем систему уравнений:

Эти уравнения однородны (не имеют свободного члена), и, значит, определяют неизвестные только с точностью до произвольного множителя. Однако можно воспользоваться нормировочным условием

р0 + р1 + р2 + р3 = 1

и с его помощью решить систему. При этом одно (любое) из уравнений можно отбросить (оно вытекает как следствие из остальных).

Пусть значения интенсивностей потоков равны:

l01 = l23 = 1; l13 = l02 = 2; m10 = m32 = 2; m20 = m31 = 3.

Четвертое уравнение отбрасываем, добавляя вместо него нормировочное условие:

;

р0 = 6/15 = 0,4; р1 = 3/15 = 0,2; р2 = 4/15 @ 0,27; р3 = 2/15 @ 0,13.

Т. е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем будет проводить 40 % времени в состоянии S0 (оба станка исправны); 20 % в состоянии S1 (первый станок ремонтируется, второй работает); 27 % в состоянии S2 (второй станок ремонтируется, первый работает); 13 % в состоянии S3 (оба станка ремонтируются).

Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы системы и загрузку ремонтных органов.

Пусть система S в состоянии S0 (полностью исправна) приносит в единицу времени доход 8 условных единиц, в состоянии S1 – доход 3 условные единицы, в состоянии S2 – доход 5 условных единиц, в состоянии S3 – не приносит дохода. Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет равен



W = 0,4 ´ 8 + 0,2 ´ 3 + 0,27 ´ 5 = 5,15 условных единиц.

Станок 1 ремонтируется долю времени, равную р1 + р3 = 0,2 + 0,13 = 0,33. Станок 2 ремонтируется долю времени, равную р2 + р3 = 0,27 + 0,13 = 0,4. Есть возможность уменьшить среднее время ремонта первого или второго станка (или обоих), на что будет затрачена определённая сумма. Возникает задача оптимизации. Спрашивается, окупит ли увеличение дохода, связанное с ускорением ремонта, повышенные расходы на ремонт? Решение задачи сводится к решению системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными.






Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.005 с.