Графо-аналитический метод решения задач линейного программирования — КиберПедия 

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Графо-аналитический метод решения задач линейного программирования



Геометрическая интерпретация задач линейного программирования дает возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задачи с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трёхмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трёх, графическое решение невозможно.

Пусть дана задача

, (1)

, (2)

. (3)

Каждое из ограничений (2) и (3) задает на плоскости некоторую полуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи есть выпуклое множество.

Пусть область допустимых решений – непустое множество, например многоугольник A1A2A3A4A5 (рис. 3.4).

 

Рис. 3.4. Схема поиска решения задачи
графо-аналитическим методом

 

Выберем произвольное значение целевой функции Z = Z0. Получим с1х1 + с2х2 = Z0. Это уравнение прямой линии. В точках прямой целевая функция сохраняет одно и то же постоянное значение Z0. Считая в равенстве (1) Z параметром, получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции (линиями постоянного значения).

Найдём частные производные целевой функции по х1 и х2:

(4), (5).

Частные производные (4) и (5) функции показывают скорость её возрастания вдоль соответствующих осей. Следовательно, с1 и с2 скорости возрастания Z вдоль осей 1 и 2. Вектор с = (с1, с2) называется градиентом функции. Он показывает направление наискорейшего возрастания целевой функции:

.

Вектор с указывает направление наискорейшего убывания целевой функции. Его называют антиградиентом.

Вектор с = (с1, с2) перпендикулярен к прямым Z = const семейства с1х1 + с2х2 = Z.

Из геометрической интерпретации элементов задачи вытекает общий порядок её графического решения:

1) с учетом системы ограничений строим область допустимых решений;

2) определяем вектор с = (с1, с2) наискорейшего возрастания целевой функции, т. е. вектор градиентного направления;

3) проводим произвольную линию уровня Z = Z0;

4) при решении задачи на максимум перемещаем линию уровня Z = Z0 в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке). В случае решения задачи на минимум линию уровня Z = Z0 перемещают в антиградиентном направленииж

5) определяем оптимальное решение х* = (х1*, х2*) и экстремальное значение целевой функции Z* = z(x*).



Пример. Найти оптимальные значения переменных х1 и х2, доставляющих максимум целевой функции

у = х1 + 2х2 ® max,

при ограничениях на значения переменных

2х1 + х2 £ 10, х1 + 3х2 £ 18, х1 ³ 0, х2 ³ 0.

Для формирования области допустимых решений ОДР необходимо в системе координат х1Oх2 построить линии, соответствующие ограничениям, приравнивая их левые и правые части, и определить направления расположения допустимых значений искомых переменных в соответствии со знаками неравенств (рис. 3.5).

Вычисления для построения первых двух ограничений:

2х1 + х2 £ 10 ® 2х1 + х2 = 10 Þ х2 = 10 – 2х1;

х1 + 3х2 £ 18 ® х1 + 3х2 = 18 Þ х2 = (18 – х1) / 3;

 

Рис. 3.5. Область допустимых решений задачи

 

В соответствии с третьим ограничением значения переменной х1 должны находиться выше оси Ох2, а в соответствии с четвертым ограничением значения переменной х2 должны находиться правее оси Ох1. Следует иметь в виду, что границы ОДР в область допустимых решений входят.

Для окончательного определения оптимальных значений переменных х1 и х2 необходимо сначала построить произвольную прямую для целевой функции, приравняв её выражение к любому числу, так, чтобы эта прямая располагалась в пределах выбранного масштаба рисунка. Приравняем выражение целевой функции, например, к числу «16» и построим соответствующую прямую линию.

у = х1 + 2х2 ® max; х1 + 2х2 = 16 Þ х2 = (16 – х1) / 2;

После этого необходимо построить прямую линию, параллельную данной прямой, так, чтобы она коснулась границы ОДР. Координаты точки касания этой прямой с границей ОДР будут оптимальными значениями переменных х1опт и х2опт.

Для точного определения координат точки касания линии целевой функции границы ОДР необходимо решить систему, включающую в себя два уравнения: 2х1 + х2 = 10 и х1 + 3х2 = 18 . При этом максимальное значение целевой функции уmax = х1 + 2х2 = 2,4 + 2 × 5,2 = 12,8.

 







Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.005 с.