Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия — КиберПедия 

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...

Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия

2017-09-26 2173
Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия 5.00 из 5.00 4 оценки
Заказать работу

Суть данного метода заключается в том, что частные критерии Fi (X), i = каким-либо образом объединяются в один интегральный критерий F (X) = Ф (F 1 (X), F 2 (X),…, Fn (X)), а затем находится максимум или минимум данного критерия.

Если объединение частных критериев производится, исходя из объектной взаимосвязи частных критериев и критерия обобщенного, то тогда оптимальное решение будет корректно. Но такое объединение осуществить крайне сложно или невозможно, поэтому, как правило, обобщенный критерий есть результат чисто формального объединения частных критериев.

В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий различают следующие виды обобщенных критериев:

1) аддитивный критерий;

2) мультипликативный критерий;

3) максиминный (минимаксный) критерий.


 

Аддитивный критерий. В этом случае целевая функция получается путем сложения нормированных значений частных критериев. В общем виде целевая функция имеет следующий вид:

,

где n – количество объединяемых частных критериев; Ci – весовой коэффициент i -го частного критерия; Fi (X) – числовое значение i -го частного критерия; Fi (0) (X) – i -й нормирующий делитель; fi (X) – нормированное значение i -го частного критерия.

Частные критерии имеют различную физическую природу и поэтому различную размерность. А значит просто суммировать их некорректно. В связи с этим в предыдущей формуле числовые значения частных критериев делятся на некоторые нормирующие делители, которые назначается следующим образом:

- в качестве нормирующих делителей принимаются директивные значения параметров или критериев, заданные заказчиком. Считается, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими;

- в качестве нормирующих делителей принимаются максимальные (минимальные) значения критериев, достигаемые в области допустимых решений.

Размерности самих частных критериев и соответствующих нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный аддитивный критерий получается безразмерной величиной.

Преимущество аддитивного критерия: как правило, всегда удается определить единственный оптимальный вариант решения.

Недостатки:

- трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов;

- аддитивный критерий не вытекает из объектной роли частных критериев и поэтому выступает как формальный математический прием;

- в аддитивном критерии происходит взаимная компенсация частных критериев, т. е. уменьшение одного из них может быть компенсировано увеличением другого критерия.

Пример. Определить оптимальный вариант машины с использованием обобщенного (интегрального) аддитивного критерия. Частными критериями, с помощью которых оценены варианты машины, являются ее производительность и надежность (наработка на отказ). Оба критерия «работают» на максимум, т. е. наилучшими вариантами машины являются те из них, которые обеспечивают наибольшую ее производительность и надежность. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2 – Исходные данные для определения
оптимального варианта исполнения машины

Критерий Fi Весовой коэффициент Сi Значения критериев для вариантов исполнения машины
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
Производительность F 1, шт/ч 0,6      
Надежность (наработка на отказ) F 2, ч 0,4      

 

Целевая функция на основе аддитивного критерия запишется следующим образом:

.

В качестве нормирующих делителей в данной задаче примем наилучшие (максимальные) значения частных критериев:

F 1(0) (X) = 4000 шт/ч, F 2(0) (X) = 1500 шт/ч.

Значения обобщенного аддитивного критерия рассчитываются для каждого варианта машины.

Вариант 1. F (X) = 0,6(1000/4000) + 0,4(1500/1500) = 0,55.

Вариант 2. F (X) = 0,6(2000/4000) + 0,4(1000/1500) = 0,558.

Вариант 3. F (X) = 0,6(4000/4000) + 0,4(500/1500) = 0,732.

Оптимальным является 3 вариант машины, т. к. ему соответствует максимальное значение обобщенного аддитивного критерия.

Один из недостатков этого метода заключается в том, что весовые коэффициенты назначает проектировщик. Разные проектировщики могут назначать разные весовые коэффициенты. Пусть, например, C 1 = 0,4;
C
2 = 0,6. Определим теперь значения аддитивных критериев для вариантов машины.

Вариант 1. F (X) = 0,4 × 0,25 + 0,6 × 1 = 0,7.

Вариант 2. F (X) = 0,4 × 0,5 + 0,6 × 0,67 = 0,602.

Вариант 3. F (X) = 0,4 × 1 + 0,6 × 0,33 = 0,598.

Таким образом, при изменении значений весовых коэффициентов оптимальным уже будет 1 вариант машины.

Мультипликативный критерий. В данном случае целевая функция здесь записывается следующим образом:

,

где П – знак произведения; Сi – весовой коэффициент i -го частного критерия; Fi (X) – числовое значение i -го частного критерия.

Преимущества мультипликативного критерия:

- не требуется нормирование частных критериев;

- практически всегда определяется одно оптимальное решение.

Недостатки:

- трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов частных критериев;

- перемножение разных размерностей;

- взаимная компенсация значений частных критериев.

Максиминный (минимаксный) критерий. Эти критерии работают по принципу компромисса, который основывается на идее равномерности. Сущность принципа максимина заключается в следующем. При проектировании сложных систем, при наличии большого числа частных критериев установить между ними аналитическую взаимосвязь очень сложно. Поэтому стараются найти такие значения переменных (параметров) X = { x 1, x 2,…, xm }, при которых нормированные значения всех частных критериев равны между собой:

Cifi (X) = K,

где Ci – весовой коэффициент i -го частного критерия; fi (X) – нормированное значение i -го частного критерия; K – константа.

При большом количестве частных критериев из-за сложных взаимосвязей добиться выполнения указанного выше соотношения очень сложно. Поэтому на практике так варьируют значениями переменных проектирования x 1, x 2,…, xm, при которых последовательно «подтягиваются» те нормированные критерии, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Т. к. эта операция производится в области компромисса, подтягивание «отстающего» критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при проведении
ряда шагов можно добиться определенной степени уравновешивания противоречивых частных критериев, что и является целью принципа максимина.

Формально принцип максимина формулируется следующим образом: выбрать такой набор переменных Х (0) Î Х, при котором реализуется максимум из минимальных нормированных значений частных критериев,

т. е. F (X (0)) = max min fi (X).

Такой принцип выбора Х (0) иногда носит название гарантированного результата. Он заимствован из теории игр, где является основным принципом.

Если частные критерии необходимо минимизировать, то самым отстающим критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае применяют принцип минимакса:

F (X (0)) = min max fi (X)


Поделиться с друзьями:

Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...

История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.015 с.