Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия — КиберПедия 

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия



Суть данного метода заключается в том, что частные критерии Fi (X), i = каким-либо образом объединяются в один интегральный критерий F (X) = Ф (F1 (X), F2 (X),…, Fn (X)) , а затем находится максимум или минимум данного критерия.

Если объединение частных критериев производится, исходя из объектной взаимосвязи частных критериев и критерия обобщенного, то тогда оптимальное решение будет корректно. Но такое объединение осуществить крайне сложно или невозможно, поэтому, как правило, обобщенный критерий есть результат чисто формального объединения частных критериев.

В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий различают следующие виды обобщенных критериев:

1) аддитивный критерий;

2) мультипликативный критерий;

3) максиминный (минимаксный) критерий.


 

Аддитивный критерий. В этом случае целевая функция получается путем сложения нормированных значений частных критериев. В общем виде целевая функция имеет следующий вид:

,

где n – количество объединяемых частных критериев; Ci – весовой коэффициент i-го частного критерия; Fi (X) – числовое значение i-го частного критерия; Fi(0) (X) – i-й нормирующий делитель; fi (X) – нормированное значение i-го частного критерия.

Частные критерии имеют различную физическую природу и поэтому различную размерность. А значит просто суммировать их некорректно. В связи с этим в предыдущей формуле числовые значения частных критериев делятся на некоторые нормирующие делители, которые назначается следующим образом:

- в качестве нормирующих делителей принимаются директивные значения параметров или критериев, заданные заказчиком. Считается, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими;

- в качестве нормирующих делителей принимаются максимальные (минимальные) значения критериев, достигаемые в области допустимых решений.

Размерности самих частных критериев и соответствующих нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный аддитивный критерий получается безразмерной величиной.

Преимущество аддитивного критерия: как правило, всегда удается определить единственный оптимальный вариант решения.

Недостатки:

- трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов;

- аддитивный критерий не вытекает из объектной роли частных критериев и поэтому выступает как формальный математический прием;

- в аддитивном критерии происходит взаимная компенсация частных критериев, т. е. уменьшение одного из них может быть компенсировано увеличением другого критерия.



Пример. Определить оптимальный вариант машины с использованием обобщенного (интегрального) аддитивного критерия. Частными критериями, с помощью которых оценены варианты машины, являются ее производительность и надежность (наработка на отказ). Оба критерия «работают» на максимум, т. е. наилучшими вариантами машины являются те из них, которые обеспечивают наибольшую ее производительность и надежность. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 3.2.

 

Таблица 3.2 – Исходные данные для определения
оптимального варианта исполнения машины

Критерий Fi Весовой коэффициент Сi Значения критериев для вариантов исполнения машины
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3
Производительность F1, шт/ч 0,6
Надежность (наработка на отказ) F2, ч 0,4

 

Целевая функция на основе аддитивного критерия запишется следующим образом:

.

В качестве нормирующих делителей в данной задаче примем наилучшие (максимальные) значения частных критериев:

F1(0) (X) = 4000 шт/ч, F2(0) (X) = 1500 шт/ч.

Значения обобщенного аддитивного критерия рассчитываются для каждого варианта машины.

Вариант 1. F (X) = 0,6(1000/4000) + 0,4(1500/1500) = 0,55.

Вариант 2. F (X) = 0,6(2000/4000) + 0,4(1000/1500) = 0,558.

Вариант 3. F (X) = 0,6(4000/4000) + 0,4(500/1500) = 0,732.

Оптимальным является 3 вариант машины, т. к. ему соответствует максимальное значение обобщенного аддитивного критерия.

Один из недостатков этого метода заключается в том, что весовые коэффициенты назначает проектировщик. Разные проектировщики могут назначать разные весовые коэффициенты. Пусть, например, C1 = 0,4;
C
2 = 0,6. Определим теперь значения аддитивных критериев для вариантов машины.

Вариант 1. F (X) = 0,4 × 0,25 + 0,6 × 1 = 0,7.

Вариант 2. F (X) = 0,4 × 0,5 + 0,6 × 0,67 = 0,602.

Вариант 3. F (X) = 0,4 × 1 + 0,6 × 0,33 = 0,598.

Таким образом, при изменении значений весовых коэффициентов оптимальным уже будет 1 вариант машины.



Мультипликативный критерий. В данном случае целевая функция здесь записывается следующим образом:

,

где П – знак произведения; Сi – весовой коэффициент i-го частного критерия; Fi(X) – числовое значение i-го частного критерия.

Преимущества мультипликативного критерия:

- не требуется нормирование частных критериев;

- практически всегда определяется одно оптимальное решение.

Недостатки:

- трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов частных критериев;

- перемножение разных размерностей;

- взаимная компенсация значений частных критериев.

Максиминный (минимаксный) критерий. Эти критерии работают по принципу компромисса, который основывается на идее равномерности. Сущность принципа максимина заключается в следующем. При проектировании сложных систем, при наличии большого числа частных критериев установить между ними аналитическую взаимосвязь очень сложно. Поэтому стараются найти такие значения переменных (параметров) X = {x1, x2,…, xm}, при которых нормированные значения всех частных критериев равны между собой:

Cifi (X) = K,

где Ci – весовой коэффициент i-го частного критерия; fi (X) – нормированное значение i-го частного критерия; K – константа.

При большом количестве частных критериев из-за сложных взаимосвязей добиться выполнения указанного выше соотношения очень сложно. Поэтому на практике так варьируют значениями переменных проектирования x1, x2,…, xm, при которых последовательно «подтягиваются» те нормированные критерии, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Т. к. эта операция производится в области компромисса, подтягивание «отстающего» критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при проведении
ряда шагов можно добиться определенной степени уравновешивания противоречивых частных критериев, что и является целью принципа максимина.

Формально принцип максимина формулируется следующим образом: выбрать такой набор переменных Х(0) Î Х, при котором реализуется максимум из минимальных нормированных значений частных критериев,

т. е. F (X(0)) = max min fi (X).

Такой принцип выбора Х(0) иногда носит название гарантированного результата. Он заимствован из теории игр, где является основным принципом.

Если частные критерии необходимо минимизировать, то самым отстающим критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае применяют принцип минимакса:

F (X(0)) = min max fi (X)






Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...





© cyberpedia.su 2017 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.006 с.