Графо-аналитический метод решения задач математического программирования — КиберПедия 

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Графо-аналитический метод решения задач математического программирования



Этим методом вручную решаются простые задачи оптимизации. Математические модели в этих задачах не должны быть сложными, поскольку в противном случае требуется много времени для их решения.

Пример №1. Однопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан один критерий у. Объект (процесс) описан уравнением (уравнениями), включающими один искомый параметр y = f(x). Имеется система ограничений:

1) х ³ а1; 2) а2 £ х £ b1.

Необходимо найти оптимальное значение параметра хопт, обращающее целевую функцию в максимум или минимум.

Задача решается в два этапа:

1) построение области допустимых решений (ОДР);

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

При построении ОДР на первом этапе рассматривается система ограничений. Все ограничения должны быть выполнены. Выполнение первого ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться правее а1 (рис. 3.1). Выполнение второго ограничения означает, что искомое значение параметра х должно находиться в интервале (на отрезке) [a2, b1].

 

Рис. 3.1. Схема построения области допустимых решений

 

На втором этапе применяют метод перебора. Суть его заключается в следующем. В пределах ОДР через определенный интервал h выбирается ряд значений параметра х. В рассматриваемом случае ОДР разбита на четыре отрезка, и выбрано пять значений параметра х. Для этих значений рассчитываются соответствующие значения целевой функции. Среди них находят минимальное (максимальное) значение. Значение параметра, обращающее целевую функцию в минимум (максимум), является оптимальным. Если в рассматриваемом случае целевая функция стремится к минимуму, то хопт = х3, если к максимуму, то хопт = х5.

При решении практических задач оптимизации всегда следует обращать внимание на вид целевой функции. Это значительно упрощает работу как при решении задач вручную с применением графо-аналитического метода, так и при решении с использованием компьютерных программ.

Рассмотрим частный случай, когда целевая функция линейна (рис. 3.2). В данном случае на втором этапе вычисляют значения целевой функции только на границах ОДР. Эти значения сравнивают и выбирают наименьшее или наибольшее. Если целевая функция стремится к минимуму, то хопт = b1, если к максимуму, то хопт = a2.

 

Рис. 3.2. Пример задачи с линейной целевой функцией

 

Пример №2. Многопараметрическая однокритериальная задача оптимизации.

Дан критерий у = х2 / х1. Требуется найти х1опт, и х2опт, обращающие в максимум целевую функцию у = х2 / х1 ® max при следующих ограничениях:



1 £ х1 £ 8, 2 £ х2 £ 12, х1 × х2 ³ 10.

Задача решается в два этапа:

1) построение ОДР;

2) нахождение в пределах ОДР оптимального решения.

Построение ОДР в данной задаче в отличие от задачи однопараметрической заключается в том, что работать нужно в двух направлениях. В итоге в плоскости х10х2 ОДР будет представлять собой многогранник (рис. 3.3).

На втором этапе необходимо вычислить значения целевой функции в пределах ОДР. В данном примере искомая точка, определяющая оптимальные значения искомых параметров, находиться на границе ОДР:

х1опт = 1, х2опт = 12.

Если х2 / х1 ® min, то х1опт = 8, х2опт = 2.

 

Рис. 3.3. Область допустимых решений для двухпараметрической
однокритериальной задачи оптимизации






Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав

0.004 с.