Основные свойства определителей. — КиберПедия


Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Основные свойства определителей.



Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).

Свойство 1.Определитель не изменяется при транспонировании, т.е.

Доказательство.

=

Замечание. Следующие свойства определителей будут формулироваться только для строк. При этом из свойства 1 следует, что теми же свойствами будут обладать и столбцы.

Свойство 2. При умножении элементов строки определителя на некоторое число весь определитель умножается на это число, т.е.

.

Доказательство.

Свойство 3.Определитель, имеющий нулевую строку, равен 0.

Доказательство этого свойства следует из свойства 2 при k= 0.

Свойство 4.Определитель, имеющий две равные строки, равен 0.

Доказательство.

Свойство 5. Определитель, две строки которого пропорциональны, равен 0.

Доказательство следует из свойств 2 и 4.

Свойство 6. При перестановке двух строк определителя он умножается на –1.

Доказательство.

Свойство 7.

Доказательство этого свойства можно провести самостоятельно, сравнив значения левой и правой частей равенства, найденные с помощью определения 1.5.

Свойство 8.Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Доказательство следует из свойств 7 и 5.

 

9. Дать определения предикатов и кванторов.

Предикаты
О п р е д е л е н и е: Функция F (х1, х2, ..., хn), определенная на множестве М и принимающая значения из множества {0, 1}, называется n-местным предикатом (n-местной высказывательной формой).

Таким образом, например, F(х) ― это одноместный предикат или одноместная высказывателъная форма, которая становится высказыванием, если вместо переменной х подставить любое значение из некоторого множества М. Любое высказывание является нуль-местным предикатом и обоз­начается F0.

Итак, в логике предикатов рассматривают символы трех видов, связанные с множеством М и множеством {0, 1}:

а) предметные постоянные а, b, с, ..., d ∈M;

б) предметные переменные х, у, z, ..., принимающие значения из множества М;

в) переменные высказывания А, В, С, …,принимающие значения из множества {0,1}.

Если на множестве М задан n-местный предикат
F (х1, х2, ...., хn), то множество М разбивается на два множества: М=А В, на одном из множеств предикат принимает истинное значение, на другом ― ложное. Первое множество А называется множеством истинности предиката.

На множестве предикатов (высказывательных форм) можно определить отношение равносильности.



О п р е д е л е н и е: Два предиката F(х1, х2, ...., хn) и
P(х1, х2, ...., хn) от од­них и тех же переменных называются равносильными, если они имеют одно и то же множество истинности. Обозначение: F (х1, х2, ...., хn)⇔P (х1, х2, ...., хn).

Отношение равносильности на множестве предикатов является отношением эквивалентности, так как оно определяется через отношение равенства множеств их истинности, а отношение равенства есть отношение эквивалентности на любом множестве.

С помощью логических операций (&, ∨, ...) из данных высказывательных форм можно строить более сложные высказывательные формы.

Однако из предикатов можно получать высказывания и другим путем. Для этого вводятся так называемые операции «навешивания кванторов».

Пусть одноместный предикат Р(х) задан на множестве М, тогда под символами ( х∈М) Р(х) и ( х∈М) Р(х) понимаем высказывание: «Для любого х∈M Р(х)» и «существует х∈М такое, что Р(х)».

Слова «для любого х» кратко обозначают символом х и называют квантором общности по переменной х. Слова «существует такой х, что ... » обозначают символом х и называют квантором существования.

Высказывание х ∈М Р (х) считается истинным, если все элементы множества М обладают свойством Р и будет ложным, если найдется хотя бы один элемент, который этим свойством не обладает.

Высказывание ( х∈М)Р(х) считается истинным, если хотя бы один элемент множества М обладает свойством Р и будет ложным, если ни один элемент множества М этим свойством не обладает.

Квантор существования обобщает логическую операцию «дизъюнкция» на бесконечном множестве.

 






Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.006 с.