Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называется высказывательной формой.

Из высказывательных форм можно получать высказывания также с помощью специальных слов, так называемых кванторов. Их два: 1) квантор всеобщности – (любой, всякий, каждый); 2) квантор существования – (существует, найдется, имеется, некоторый, по меньшей мере, один). Например, из высказывательной формы «Площадь комнаты 20 м²» можно с помощью кванторов получить высказывания: «Площадь любой комнаты 20 м²» – ложное, «Существует комната, площадь которой 20 м²» – истинное. Предложения, образованные с помощью квантора всеобщности, называются общеутвердительными; предложения, образованные с помощью квантора существования, называются частноутвердительными.

Союзы «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не» (словосочетание «неверно, что») называют логическими связками.

Предложения, образованные из других предложений с помощью логических связок, называют составными или сложными. Предложения, которые не содержат логических связок, называют элементарными или простыми.

1. Отрицание – единственная операция, которая может применяться к одному высказыванию.

Отрицанием высказывания называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда само высказывание ложно и ложно, когда само высказывание истинно.

Отрицание обозначается , или b, читается: «не А» или «неверно, что А».

Для произвольного высказывания А определение удобно записывать с помощью так называемой таблицы истинности:

А

2.Конъюнкция (логическое умножение) .

Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Конъюнкция обозначается или А&B; читается: «А и В».

Таблица истинности для конъюнкции выглядит следующим образом:

А	В

3. Дизъюнкция (логическое сложение) .

Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».

Таблица истинности для дизъюнкции выглядит следующим образом:

А	В

4. Импликация (логическое следствие).

Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны либо ложны.

Эквиваленция обозначается или , читается «А тогда и только тогда, когдаВ».

Таблица истинности для эквиваленции выглядит так:

А	В

В форме эквиваленции, как правило, формулируются определения (например, определения логических операций).

3. Дать определения функции, композиции функций и указать их свойства.

Определение.

Пусть даны две переменные х и y с областями изменения Х и Y. Переменная y называется функцией от х, если по некоторому правилу или закону каждому значению ставится в соответствие одно определенное значение .

Для указания этого факта, что y есть функция от х, пишут: , , и т.п.

Можно также сказать, что функция f отображает множество Х на множество Y. Это обозначается так (рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х называется независимой переменной или аргументом.

Переменная y называется зависимой переменной или функцией.

Относительно самих величин х и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Область определения и изменения функции

Определение.

Совокупность всех значений независимой переменной х, для которых функция y определена, называется областью определения или областью существования этой функции.

Определение.

Множество Х называется областью определения функции и обозначается .

Определение.

Множество значений Y называется областью изменения или областью значений функции, и обозначается .

Область изменения функции (множество ее значений) определяется законом соответствия.

Определение.

Функция называется числовой функцией, если ее область определения и множество значений содержатся в множестве действительных чисел R.

В дальнейшем будем изучать лишь числовые функции. Частное значение функции при записывается так: .

Характеризуют функцию по следующим свойствам:

четность или нечетность функции;
периодичность функции;
нули функции;
возрастание или убывание функции (монотонность функции);
ограниченность функции.

Рассмотрим эти характеристики.

Четные и нечетные функции

Определение.

Функция называется четной, если она не изменяет своего значения при изменении знака аргумента, т.е. .

График четной функции расположен симметрично относительно оси .

Определение.

Функция называется нечетной, если при изменении знака аргумента знак функции меняется на противоположный, а числовое значение её сохраняется, т.е. .

График нечетной функции расположен симметрично относительно начала координат .

Функция может быть ни четной ни нечетной, и в этом случае её называют функцией общего вида.

Графики таких функций не симметричны ни относительно оси , ни относительно начала координат.

Периодические функции

Определение.

Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что в области определения функции.

Наименьшее из положительных чисел Т, удовлетворяющих условию определения, называется периодом функции .

Нули функции

Определение.

Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, , называется нулем функции.

Монотонные функции

Определение.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некоторой области изменения аргумента, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Определение.

Если функция в некоторой области изменения аргумента является только возрастающей или только убывающей, то функция называется монотонной.

Ограниченные функции

Определение.

Функция называется ограниченной на множестве Х, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство .

Например, функции и – ограниченные функции, т.к. и для .

График ограниченной функции лежит между прямыми и .

Пусть даны числовые функции f(x)и g(x), такие, чтоE(f) ⊂ UD(g). Их композицией называется новая числовая функция F, заданная на D(f), которая каждому x ∈ D(f) ставит в соответствие число g[f(x)]. Функцию F обозначают также: g○ f :

(g ○ f) (x) = g(f(x))

Если функции f(x) и g(x) заданы своими выражениями, то для получения выражения композиции этих функций надо подставить в выражение функции g(x)вместоx выражение функции f(x).

Свойства композиции

Композиция ассоциативна:

Если — тождественное отображение на , то есть

то

Если — тождественное отображение на , то есть

то

Рассмотрим пространство всех биекций множества на себя и обозначим его . То есть если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а — группой. является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является — обратная функция.

Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

Свойства отношений

Определение 1. Бинарное отношение  на множестве X называется рефлексивным, если для любого элемента a X выполняется условие a  a:

( a X) a a.

Определение 2. Бинарное отношение  на X называется антирефлексивным, если ни для одного a X не выполняется условие a  a:

( a X) .

Определение 3. Бинарное отношение  на множестве X называется симметричным, если из a  b следует b  a:

( a, b X)(a b ba).

Определение 4. Бинарное отношение на множестве X называется антисимметричным, если для любых различных элементов a и b условия a  b и b  a не выполняются одновременно:

( a, b X) (a  b & b a a = b).

Определение 5. Бинарное отношение a на множестве X называется транзитивным, если для любых трех элементов a, b, c X из ab и bc следует ac:

( a, b, c X) (a b & b c ac).

Определение 6. Бинарное отношение  на множестве X называется связным, если для любых двух различных элементов a и b имеет место ab, либо ba:

( a, b, c X)(a b ab ba).

Определение 1

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел _,тогда

(1)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 2(через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

.(2)

Пусть , тогда

Определение 3 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Утверждение 1

Определения 2 и 3 эквивалентны.

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство теоремы.

Необходимость. Система совместна. Докажем, что .

Система совместна — существуют такие числа ,что

т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы матрицыA. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов не увеличивается, т.е. . Необходимость доказана.

Достаточность. . Докажем, что система совместна.

Пусть . Это означает, что среди столбцов обеих матриц естьr линейно независимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Не умаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов . Тогда столбцы — линейно зависимы и, следовательно, столбец линейно выражается через : .

Положим ,

тогда

т.е. вектор — решение системы ,

т.е. система совместна. Теорема доказана.