Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2017-06-29 | 755 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Максимальная линейно независимая подсистема S’ системы векторов S называется базисом системы S.
Ранее было доказано, что всякая максимально линейно независимая подсистема n-мерного пространства состоит из n векторов. Отсюда можно сделать выводы:
1) базис любой системы векторов пространства Rn всегда содержит не более чем n векторов;
2) в любой системе векторов может содержаться несколько базисов, однако число векторов в каждом базисе одно и тоже;
3) любой базис пространства Rn содержит n векторов;
4) любая линейно независимая система из n векторов является базисом пространства Rn.
Из всех доказанных выше результатов можно сделать следующие выводы:
1) в n-мерном пространстве всякая линейно независимая система, состоящая из n векторов, будет максимальной;
2) любая максимальная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из n векторов;
3) всякая линейно независимая система n-мерных векторов содержится хотя бы в одной максимальной линейно независимой системе;
4) в n-мерном пространстве существует бесконечно много различных максимально линейно независимых систем векторов.
Определение. Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы векторов.
Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.
Доказательство.
Пусть — базис . Тогда по определению — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов
|
Значит, базис — максимальная линейно независимая система.
Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:
т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.
Теорема (о ранге системы векторов). Ранг системы векторов не изменится, если к ней добавить (или удалить) вектор, являющийся линейной комбинацией остальных.
Сформулировать и доказать критерий совместности системы линейных уравнений.
Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.
Теорема Кронекера-Капелли.
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство теоремы.
Необходимость. Система совместна. Докажем, что .
Система совместна — существуют такие числа ,что
т.е. вектор-столбец правой части линейно выражается через столбцы матрицы A. Это означает, что при добавлении столбца число линейно независимых столбцов не увеличивается, т.е. . Необходимость доказана.
Достаточность. . Докажем, что система совместна.
Пусть . Это означает, что среди столбцов обеих матриц есть r линейно независимых столбцов, а все остальные линейно выражаются через эти r столбцов. Не умаляя общности, положим, что линейно независимы первые r столбцов . Тогда столбцы — линейно зависимы и, следовательно, столбец линейно выражается через : .
Положим ,
тогда
т.е. вектор — решение системы ,
т.е. система совместна. Теорема доказана.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!