Задачи линейного программирования — КиберПедия 

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Задачи линейного программирования

2017-06-02 774
Задачи линейного программирования 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет вид:

; (5.2)

; (5.3)

; (5.4)

. (5.5)

При этом система линейных уравнений (5.3) и неравенств (5.4), (5.5), определяющая допустимое множество решений задачи W, на­зывается системой ограничений задачи линейного программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или критери­ем оптимальности.

В частном случае, если , то система (5.3) - (5.4) состоит только из линейных неравенств, а если I=M, то – из линейных уравнений.

Если математическая модель задачи линейного программирова­ния имеет вид:

; (5.6)

; (5.7)

, (5.8)

то говорят, что задача представлена в канонической форме.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ог­раничениям равенств и заменять переменные, которые не подчи­няются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного программирования к канони­ческому виду состоит в следующем:

1) если в исходной задаче требуется определить максимум ли­нейной функции, то следует изменить знак и искать минимум этой функции;

2) если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на –1;

3) если среди ограничений имеются неравенства, то путем введения дополнительных неотрицательных переменных они преобра­зуются в равенства;

4) если некоторая переменная хk не имеет ограничений по зна­ку, то она заменяется (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью между двумя новыми неотрицательными переменными:

, где l – свободный индекс, .

Пример 5.1. Приведение к канонической форме задачи линейного программирования:

Решение. Введем в каждое уравнение системы ограничений выравниваю­щие переменные х4, х5, x 6. Система запишется в виде равенств, причем в первое и третье уравнения системы ограничений пере­менные х4, x6 вводятся в левую часть со знаком «+», а во второе уравнение вводится х5 со знаком «–».

Итак:

Свободные члены в канонической форме должны быть поло­жительными, для этого два последних уравнения умножим на – 1:

В канонической форме записи задач линейного программиро­вания все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть неотрицательными. Допустим, что

где .

Подставляя данное выражение в систему ограничений и в целе­вую функцию и записывая переменные в порядке возрастания ин­декса, получим задачу линейного программирования, представлен­ную в канонической форме:

Примеры построения экономико-математических моделей задач линейного программирования

Рассмотрим процесс построения математических моделей задач линейного программирования на примерах.

Пример 5.2. Определение оптимального ассортимента продукции.

Предприятие изготавливает два вида продукции – П1, и П2, ко­торая поступает в оптовую продажу. Для производства продукции используются два вида сырья – А и В. Максимально возможные за­пасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Рас­ход сырья на единицу продукции вида П1 и вида П2 дан в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Расход сырья продукции

Сырье Рас ход сырья на 1 ед. продукции Запас сырья, ед.
П1 П2
А      
В      

 

Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию П1 никогда не превышает спроса на продукцию П2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 никогда не пре­вышает 2 ед. в сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д. е. – для П1 и 4 д. е. для П2.

Какое количество продукции каждого вида должно произво­дить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был мак­симальным?

Процесс построения математической модели для решения по­ставленной задачи начинается с ответов на следующие вопроса (Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х кн. – М.: Мир, 1985.).

1. Для определения каких величин должна быть построена мо­дель, т. е. как идентифицировать переменные данной задачи?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные,
чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой сис­темы?

3. В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех
допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые бу­дут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Ответы на вышеперечисленные вопросы могут быть сформули­рованы для данной задачи так: фирме требуется определить объе­мы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизиру­ющие доход в д. е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов.

Для построения математической модели остается только иден­тифицировать переменные и представить цель и ограничения в ви­де математических функций этих переменных.

Предположим, что предприятие изготовит x1 единиц продукции П1 и х2 единиц продукции П2. Поскольку производство продукции П1 и П2 ограничено имеющимися в распоряжении предприятия сы­рьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учи­тывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отри­цательным, должны выполняться следующие неравенства:

Доход от реализации хх единиц продукции П1 и х2 единиц про­дукции П2 составит .

Таким образом, мы приходим к следующей математической за­даче: среди всех неотрицательных решений данной системы линей­ных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значения Fmax.

Рассмотренная задача относится к разряду типовых задач опти­мизации производственной программы предприятия. В качестве критериев оптимальности в этих задачах могут быть также исполь­зованы: прибыль, себестоимость, номенклатура производимой про­дукции и затраты станочного времени.

Пример 5.3. Использование мощностей оборудования.

Предприятие имеет т моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: Т – время работы каждой машины; продукции j- го вида должно быть выпущено не менее Nj единиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой i- й машины по выпуску j -го вида про­дукции bij и стоимость единицы времени, затрачиваемого i -й ма­шиной на выпуск j -го вида продукции сij.

Другими словами, задача для предприятия состоит в следую­щем: требуется определить время работы i- й машины по выпуску j -го вида продукции хij, обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин Т и заданному количеству продукции Nj.

По условию задачи машины работают заданное время Т, поэто­му данное ограничение можно представить в следующем виде:

. (5.9)

Ограничение по заданному количеству продукции выглядит следующим образом:

. (510)

Задача решается на минимум затрат на производство:

. (5.11)

Необходимо также учесть неотрицательность переменных .

Задача поставлена так, чтобы израсходовать все отведенное время работы машины, т. е. обеспечить полную загрузку машины. При этом количество выпускаемой продукции каждого вида должно быть по крайней мере не менее Nj. Однако в некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре, тогда ограничения математической модели изменяются следующим образом:

. (5.12)

. (5. 13)

. (5.14)

 

Пример 5.4. Минимизация дисбаланса на линии сборки.

Промышленная фирма производит изделие, представляющее собой сборку из m различных узлов. Эти узлы изготавливаются на n заводах.

Из-за различий в составе технологического оборудования производительность заводов по выпуску j -го узла неодинакова и равна . Каждый i -ый завод располагает максимальным суммарным ресурсом времени в течение недели для производства m узлов, равного Величине Ti.

Задача состоит в максимизации выпуска изделий, что по существу эквивалентно минимизации дисбаланса, возникающего вследствие некомплектности поставки по одному или по нескольким видам узлов.

В данной задаче требуется определить еженедельные затрать времени (в часах) на производство j -го узла на i- м заводе, не превышающие в сумме временные ресурсы i -го завода и обеспечиваю­щие максимальный выпуск изделий.

Пусть xij – недельный фонд времени (в часах), выделяемый на заводе i для производства узла j. Тогда объемы производства узла j будут следующими:

. (5. 15)

Так как в конечной сборке каждый из комплектующих узлов представлен в одном экземпляре, количество конечных изделий должно быть равно количеству комплектующих узлов, объем про­изводства которых минимален:

. (5 16)

 

Условие рассматриваемой задачи устанавливает ограничение на фонд времени, которым располагает завод i.

Таким образом, математическая модель может быть представ­лена в следующем виде.

Максимизируем

. (5. 17)

. (5.18)

для всех i и j.

Эта модель не является линейной, но ее можно привести к ли­нейной форме с помощью простого преобразования. Пусть Y – ко­личество изделий:

. (5. 19)

Этому выражению с математической точки зрения эквивалент­на следующая формулировка: максимизировать Z = Y при ограни­чениях

. (5. 20)

. (5.21)

для всех i и j;

 

Пример 5.5. Задача составления кормовой смеси, или задача о диете (Вентцель Е. С, Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятнос­тей. - М.: Радио и связь, 1983).

Пусть крупная фирма (условно назовем ее «Суперрацион») име­ет возможность покупать т различных видов сырья и приготавли­вать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содер­жит разное количество питательных компонентов (ингредиентов).

Лабораторией фирмы установлено, что продукция должна удов­летворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством фирмы стоит задача определить количество каждого i -го сырья, об­разующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требо­ваний к общему расходу смеси и ее питательности.

Решение

Введем условные обозначения:

xi – количество /-го сырья в смеси;

т – количество видов сырья;

п – количество ингредиентов в сырье;

аij – количество ингредиента j, содержащегося в единице i -го вида сырья;

bij минимальное количество ингредиента/, содержащегося в единице смеси;

сi - стоимость единицы сырья i;

q — минимальный общий вес смеси, используемый фирмой.

Задача может быть представлена в виде

. (5. 22)

при следующих ограничениях:

на общий расход смеси:

; (5. 23)

на питательность смеси:

; (5. 24)

на неотрицательность переменных:

. (5.25)

 

Пример 5.6. Задача составления жидких смесей.

Еще один класс моделей, аналогичных рассмотренным выше, возникает при решении экономической проблемы, связанной с из готовлением смесей различных жидкостей с целью получения поль­зующихся спросом готовых продуктов.

Представим себе фирму, торгующую различного рода химичес­кими продуктами, каждый из которых является смесью нескольких компонентов. Предположим, что эта фирма планирует изготовле­ние смесей m видов. Обозначим подлежащее определению количе­ство литров i -го химического компонента, используемого для полу­чения j -го продукта через хij. Будем предполагать, что

.

Первая группа ограничений относится к объемам потребляе­мых химических компонентов:

. (5.26)

где Si – объем i -го химического компонента, которым располагает фирма в начале планируемого периода.

Вторая группа ограничений отражает требование, заключающе­еся в том, чтобы запланированный выпуск продукции хотя бы в минимальной степени удовлетворял имеющийся спрос на каждый из химических продуктов, т. е.

. (5.27)

где Dj – минимальный спрос на продукцию у в течение планируемого пе­риода.

Третья группа ограничений связана с технологическими осо­бенностями, которые необходимо принимать во внимание при при­готовлении смеси например, простое ограничение, определяемое некоторыми минимально допустимыми значениями, отношения между объемами двух химических компонентов в процессе получе­ния продукта j:

или .

где r – некоторая заданная константа.

Обозначив через Рij доход с единицы продукции xij, запишем целевую функцию:

. (5.28)

Пример 5.7. Задача о раскрое или о минимизации обрезков.

Данная задача состоит в разработке таких технологических пла­нов раскроя, при которых получается необходимый комплекс заго­товок, а отходы (по длине, площади, объему, массе или стоимости) сводятся к минимуму.

Например, продукция бумажной фирмы выпускается в виде бу­мажных рулонов стандартной ширины L. По специальным заказам потребителей фирма поставляет рулоны других размеров, для этого производится разрезание стандартных рулонов. Типичные заказы на рулоны нестандартных размеров могут включать т видов шири­ной . Известна потребность в нестандартных рулонах каждого вида, она равна li. Возможны n различных вариантов по­строения технологической карты раскроя рулонов стандартной ши­рины L на рулоны длиной li.

Обозначим через aij количество рулонов i -го вида, получаемых при раскрое единицы стандартного рулона по j -му варианту. При каждом варианте раскроя на каждый стандартный рулон возможны потери, равные Рj. К потерям следует относить также избыточные рулоны нестандартной длины li, получаемые при различных вари­антах раскроя .

В качестве переменных следует идентифицировать количество стандартных рулонов, которые должны быть разрезаны при j -м ва­рианте раскроя. Определим переменную следующим образом: xj количество стандартных рулонов, разрезаемых по варианту j, .

Целевая функция

минимум отходов при раскрое

. (5.29)

Ограничение на удовлетворение спроса потребителя

. (5.30)

Пример 5.8. Многосторонний коммерческий арбитраж ( Таха X. Введение в исследование операций: В 2-х кн. – М.: Мир, 1985. ).

В сфере деятельности, связанной с валютными и биржевыми операциями, а также коммерческими сделками контрактного ха­рактера, возможны различного рода трансакции, позволяющие из­влекать прибыль на разнице в курсе валют. Такого рода трансак­ции называются коммерческим арбитражем.

Представим себе коммерсанта (условно назовем его N), имею­щего возможность реализовать многосторонний коммерческий ар­битраж. Предположим, что число валютных рынков, вовлеченных в трансакционную деятельность коммерсанта N, равняется шести, а максимальное число возможных трансакций равняется девяти. Подробные данные, характеризующие рассматриваемую задачу, приведены в табл. 5.2.

При трансакции x1 продажа единицы валютного номинала (цен­ных бумаг) II позволяет приобрести r11 единиц валютного номина­ла I. При трансакции x7 взамен единицы валютного номинала I можно получить r37 единиц валютного номинала III и r67 единиц валютного номинала VI. Остальные трансакции расшифровывают­ся аналогично. Значения rij могут быть дробными. Заметим, что при любой трансакции xi (i = 1, 2, 3, 4, 5) каждый из валютных но­миналов можно обменять на валютный номинал I. Следует обра­тить внимание на правило выбора знака перед показателями в табл. 5.2. Чтобы отличать куплю от продажи, будем соответственно ис­пользовать знаки «плюс» и «минус» перед показателями, характе­ризующими данную трансакцию.

Таблица 5.2. Многосторонний коммерческий арбитраж

Валютный номинал Тип трансакции Возмож-ность рынка
                 
I r11 r12 r13 r14 r15 -1 -1    
II -1         r26     r29
III   -1         r37 r38  
IV     -1         -1  
V       -1       r58  
VI         -1   r67   -1
Размер транcакции x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x6 x9  

 

Рассмотрим идеализированный случай, когда все трансакции коммерсанта N выполняются одновременно. Ограничения опреде­ляются единственным требованием – трансакция возможна лишь при условии, если коммерсант N располагает наличными ценными бумагами. Другими словами, количество проданных ценных бумаг не должно превышать количество приобретенных. Данные ограни­чения имеют вид

Пусть целевая функция представляет собой чистый доход, вы­раженный в единицах валютного номинала I, т. е. задача состоит в том, чтобы

Пример 5.9. Транспортная задача.

Имеется три поставщика и четыре потребителя однородной продукции. Известны затраты на перевозку груза от каждого поставщика каждому потребителю. Обозначим их . Запасы грузов у поставщиков равны . Известны потреб­ности каждого потребителя . Будем считать, что суммар­ные потребности равны суммарным запасам:

.

Требуется составить такой план перевозок, чтобы обеспечить минимальные суммарные затраты при полном удовлетворении по­требностей.

Введем переменные хij – количество груза, перевозимого от i -го поставщика j -му потребителю.

Ограничения задачи выглядят следующим образом:

• потребности всех потребителей должны быть удовлетворены пол­ностью:

(5.31)

или в общем виде:

;

• груз поставщика должен быть вывезен полностью:

(5.32)

или в общем виде:

;

• условие неотрицательности переменных:

.

Целевая функция – минимизировать суммарные затраты на пе­ревозку:

. (5.33)

Количество поставщиков и потребителей в общем случае может быть произвольным ().

Мы рассмотрели девять примеров типовых задач линейного про­граммирования. Обобщая их, можно сделать следующие выводы.

1. Ограничения в задачах линейного программирования могут
быть выражены как равенствами, так и неравенствами.

2. Линейная функция может стремиться как к максимуму, так
и к минимуму.

3.Переменные в задачах всегда неотрицательны.

Напомним, что от любой из вышеперечисленных задач можно

перейти к канонической (основной) задаче линейного программи­рования.

5.3. Графические методы решения задач линейного
программирования

Графический способ решения задач линейного программирова­ния целесообразно использовать для:

решения задач с двумя переменными, когда ограничения выра­жены неравенствами;

решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Запишем задачу линейного программирования с двумя переменными:

Ø целевая функция:

(5.34)

Ø ограничения:

; (5.35)

. (5.36)

Каждое из неравенств (5.35) - (5.36) системы ограничений за­дачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми . В том случае, если система неравенств (5.35) - (5.36) совместна, об­ласть ее решений есть множество точек, принадлежащих всем ука­занным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью допустимых ре­шений является выпуклое множество, которое называется много­угольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на пря­мых, уравнения которых получаются из исходной системы ограни­чений заменой знаков неравенств на знаки равенств.

Областью допустимых решений системы неравенств (5.35) — (5.36) может быть:

Ø выпуклый многоугольник;

Ø выпуклая многоугольная неограниченная область;

Ø пустая область;

Ø луч;

Ø отрезок;

Ø единственная точка.

Целевая функция (5.34) определяет на плоскости семейство па­раллельных прямых, каждой из которых соответствует определен­ное значение Z.

Вектор с координатами с1 и с2, перпендикулярный к этим прямым, указывает направление наискорейшего возраста­ния Z, а противоположный вектор – направление убывания Z.

Если в одной и той же системе координат изобразить область допустимых решений системы неравенств (5.35) – (5.36) и семей­ство параллельных прямых (5.34), то задача определения максимума функции Z сведется к нахождению в допустимой области точки, через которую проходит прямая из семейства Z = const, и которая соответствует наибольшему значению параметра Z.

Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение.

Для определения данной вершины построим линию уровня , проходящую через начало координат и перпендикулярную вектору С = (с12), и будем передвигать ее в направ­лении вектора до тех пор, пока она не коснется послед­ней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Коорди­наты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации зада­чи (5.34) – (5.36), отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. 5.1 – 5.4. Рис. 5.1 харак­теризует такой случай, когда целевая функция принимает макси­мальное значение в единственной точке А. Из рис. 5.2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точ­ке отрезка АВ.

На рис. 5.3. изображен случай, когда максимум недостижим, а на рис. 3.4 – случай, когда система ограничений задачи несовместима.

Рис. 5.1. Оптимум функции Z достижим в точке А Рис. 5.2. Оптимум функции Z достижим в любой точке АВ

Рис. 5.3. Оптимум функции Z недостижим Рис. 5.4. Область допустимых решений – пустая область

 

Отметим, что нахождение минимального значения Z при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем. что линия уровня Z передвигается не в направлении вектора , а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения.

Для практического решения задачи линейного программирования (5.34) – (5.36) на основе ее геометрической интерпретации необходи­мо следующее.

1. Построить прямые, уравнения которых получаются в резуль­тате замены в ограничениях (5.35) - (5.36) знаков неравенств на знаки равенств.

2. Найти полуплоскости, определяемые каждым из ограниче­ний задачи.

3. Определить многоугольник решений.

4. Построить вектор .

5. Построить прямую , проходящую через на­чало координат и перпендикулярную вектору С.

6. Передвигать прямую в направлении вектора С, в результате чего либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность функции сверху на множестве планов.

Определить координаты точки максимума функции и вычис­лить значение целевой функции в этой точке.

Пример 5.10. Рассмотрим решение задачи об ассортименте про­дукции (Пример 5.2) геометрическим способом.

Решение

Построим многоугольник решений (рис. 5.5). Для этого в сис­теме координат Х12 на плоскости изобразим граничные прямые:

Взяв какую-либо точку, например начало координат, устано­вим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенст­во. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рис. 5.5 пока­заны стрелками. Областью решений является многоугольник OABCD.

Для построения прямой строим вектор-гради­ент и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора . Из рис. 5.5 следует, что по отноше­нию к многоугольнику решений опорной эта прямая становится в точке С, где функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L3. Для определения ее коорди­нат решим систему уравнений:

Оптимальный план задачи х1 = 2,4; x2 =1,4. Подставляя значе­ния х1 и х2 в линейную функцию, получим:

Рис. 5.5. Решение задачи линейного программирования
геометрическим способом

 

Полученное решение означает, что объем производства продук­ции П1 должен быть равен 2,4 ед., а продукции П2 – 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит: Z = 12,8 д. е.

Геометрическим способом можно также решать задачи линей­ного программирования с числом переменных более двух. Для это­го исходную задачу преобразуют методом Жордана—Гаусса.

Пример 5.11.

Используя метод Жордана-Гаусса, произведем два полных ис­ключения x1 и x4:

.

В результате приходим к системе

откуда

Подставляя эти значения в линейную функцию Z и отбрасывая в последней системе базисные переменные, получим задачу, выра­женную только через свободные неизвестные х1 и x 3. Найдем мак­симальное значение линейной функции

при следующих ограничениях:

Построим многоугольник решений и линейную функцию в си­стеме координат Х23 (рис. 5.6). Согласно рис. 3.6, линейная функ­ция принимает максимальное значение в точке А, которая лежит на пересечении прямых L2 и Х2= 0. Ее координаты (0;0,23).

Рис.5.6. Геометрическая интерпретация решения задачи
линейного программирования

Максимальное значение функции

Для отыскания оптимального плана исходной задачи подстав­ляем в преобразованную систему х2 и x3. Окончательно получаем X =(1,078; 0; 0,23; 0,001).

Симплекс-метод

Общая идея симплекс-метода

Для начала работы требуется, чтобы заданная система ограни­чений выражалась равенствами, причем в этой системе ограниче­ний должны быть выделены базисные неизвестные. Решение зада­чи при помощи симплекс-метода распадается на ряд шагов. На каждом шаге от данного базиса Б переходят к другому, новому ба­зису с таким расчетом, чтобы значение функции Z уменьшалось, т. е. . Для перехода к новому базису из старого базиса уда­ляется одна из переменных и вместо нее вводится другая из числа свободных. После конечного числа шагов находится некоторый ба­зис для которого есть искомый минимум для линейной функции Z, а соответствующее базисное решение является опти­мальным либо выясняется, что задача не имеет решения.

Алгоритм симплекс-метода

Рассмотрим систему ограничений и линейную форму вида:

; (5.37)

(5.38)

. (5.39)

Используя метод Жордана – Гаусса, приведем записанную сис­тему к виду, где выделены базисные переменные. Введем условные обозначения:

– базисные переменные;

свободные переменные.

; (5.40)

(5.41)

По последней системе ограничений и целевой функции Z пост­роим табл. 5.3.

Таблица 5.3. Симплекс-таблица

Свободные неизвест- ные Базис- ные неизвестные Свободный член xr+1 xr+1 xr+1
x1 β1 a1r+1 a1r+2

Поделиться с друзьями:

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...

История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.193 с.