Похибки добутку, ділення й обчислення довільної функції

Доведемо, що відносна похибка добутку дорівнює сумі відносних похибок співмножників.

Дійсно:

,

звідки випливає

.

Через те що   і  то  а тому

;                                                                                                   (2.2)

,

що й треба було довести.

Відносна похибка обчислення величини, зворотної до даної, дорівнює відносній похибці вихідної величини.

Щоб довести це, врахуємо, що, якщо , то

.

З цього випливає , а значить     , що й треба було довести.

Враховуючи це, можна дійти висновку, що відносна похибка частки дорівнює сумі відносних похибок діленого та дільника:

.   (2.3)

Аналогічно можна встановити, що відносна похибка піднесення до степеня  наближеного числа (  -натуральне ціле) дорівнює добутку відносної похибки основи на абсолютну величину показника степеня

.         (2.4)

Абсолютна похибка обчислення функції дорівнює добутку абсолютної похибки аргументу на абсолютну величину похідної від функції:

.                          (2.5)

Приклад 1. Похибка обчислення лінійної функції .

Маємо .

Приклад 2. Похибки обчислення синуса .

У цьому випадку , а тому , а .

Приклад 3. Похибки обчислення косинуса .

У цьому випадку , а тому , а .

Аналіз останніх прикладів дозволяє висновувати, що

1) похибка обчислень суттєво залежить від значення аргументу;

2) при малих значеннях аргументу обчислення косинуса здійснюється зі значно меншою відносною похибкою, ніж похибка завдання аргументу;

3) обчислення косинуса при значеннях аргументу, близьких до  приводить до вельми значних обчислювальних похибок; відносна похибка визначення косинуса у цьому випадку у багато разів перевищує відносну похибку завдання кута;

4) відносна ж похибка визначення синуса у діапазоні  завжди менша за відносну похибку аргументу.