Похибки результату при діях із наближеними числами

Дії над наближеними числами приводять до поширення похибок. Для оцінки похибок результатів потрібно знати похибки вихідних чисел і правила обчислення похибки результату. Розглянемо ці правила.

 

Похибки підсумовування

Неважко впевнитися у слушності наступних тверджень.

Абсолютна похибка суми й різниці дорівнює сумі абсолютних похибок доданків

.                                                                                  (2.1)

Відносна похибка суми двох величин однакового знаку перебуває в інтервалі між найменшою й найбільшою відносними похибками доданків

.

За умови  матимемо          .

Якщо ж , через що останнім доданком у знаменнику можна знехтувати, то

.

Подамо вираз для відносної похибки у такий спосіб

.

З його розгляду випливає наступне.

Додавання величин протилежного знаку (або віднімання величин однакового знаку) практично завжди приводить до збільшення відносної похибки результату у порівнянні з найбільшою з відносних похибок доданків.

Особливо небезпечним є віднімання дуже близьких величин. У цьому випадку відносна похибка результанта може сягати неприпустимих величин.

 

Приклад. Треба обчислити площу кругового тонкого кільця із внутрішнім радіусом  і товщиною  за формулою  або . Відшукати похибки.

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

Перш за все потрібно зазначити, що, як випливає з угоди про форму запису наближеного числа, абсолютні похибки вихідних даних є такими:

;             ,

а відносні похибки

;              .

Розрахунки згідно першої формули приводять до таких похибок:

;

;

;

;

;

;

;

.

Якщо ж скористатися другою формулою, то одержимо такі похибки:

;

;

;

;

Як бачимо

,

тобто підрахунок за другою формулою дає змогу одержати результат у 21 рази точніший, ніж розрахунок за першою формулою, де відбувається віднімання близьких за значенням величин.

 

Наведений приклад засвідчує, що похибка результату залежить від порядку проведення обчислень і це потрібно враховувати при розрахунках. Алгебрично наведені формули тотожні, але для проведення обчислень кращою є друга. У першій формулі при відніманні близьких величин  і  різко збільшується відносна похибка.