Запис наближених чисел. Правило округлення

Записувати наближене число у вигляді  незручно. Тому в обчислювальній практиці часто вдаються до різних прийомів, що дозволяють тільки за записом наближеного числа  судити про його похибку.

Нехай наближене число  подане у вигляді скінченого десяткового дробу:

де  - цифри числа  ( ).

Значущими цифрами числа називають усі цифри у запису числа, починаючи з першої ненульової зліва. Наприклад, у чисел 0,0503, 0, 00630500 значущими цифрами є підкреслені.

Значущу цифру називають вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує половини одиниці розряду, що відповідає цій цифрі. У зворотному випадку цифра вважається сумнівною.

Наприклад, число 647, 326 при =0,03 (< ) має чотири вірні цифри 6, 4, 7, 3 і дві сумнівні 2, 6.

Згідно правилу, запропонованому А. Н. Криловим, наближене число потрібно записувати так, щоб усі значущі цифри у запису числа були вірними, а перша цифра з відкинутої частини відносилася до сумнівних. Так, число 0,884, відоме з похибкою 0,004, повинно мати запис 0,88. Раніше згадане число 647,326 при описаних умовах повинно бути записане у вигляді 647,3.

У математичних таблицях значень функцій приводяться тільки вірні цифри. Відносна похибка табличних значень, наприклад, у тризначних таблицях не перевищує , у семизначних - .

Точність наближеного числа залежить не від кількості значущих цифр, а від кількості вірних цифр.

При проведенні розрахунків остаточний наближений результат зазвичай округлюють до його вірних цифр, залишаючи одну сумнівну, а у проміжних результатах зберігають одну, дві, а часом і три сумнівні цифри.

Приклад. Задані числа при вказаних абсолютних похибках округлити до вірних цифр. Визначити абсолютну похибку результату.

1.       2.

2.     4. .

РОЗВ'ЯЗУВАННЯ

1. Оскільки 0,024<0,05, то число  потрібно округлити до 0,1. Одержимо число =2,6 із двома вірними цифрами. Визначимо абсолютну похибку результату .

2. Через те що 1,3< , то число  слід округлити до десятків. Одержимо  з однією вірною цифрою. Варто відзначити, що не можна писати ані 50, ані , бо у обох випадках у відповідності із прийнятою системою запису це буде означати, що похибка записаного числа менша за 0,5, що суперечить умові. Абсолютна похибка результату дорівнює         .

3. Оскільки 0,0009<0,005, то округлення числа   здійснюємо до 0,01. Одержимо  із трьома вірними цифрами. Абсолютна похибка результату буде наступною            . У запису 7,00 нулі свідчать про три його вірні знаки, і цей запис відрізняється від 7 або 7,0.

4. Оскільки 0,04<0,05, то число  округлюємо до 0,1. Одержуємо  з однією вірною цифрою. Абсолютна похибка результату дорівнюватиме , тобто цифра 6 вже є сумнівною. Тому при округленні рекомендується залишати одну-дві сумнівні цифри

              .

Помітимо, що термін "вірні цифри" не слід розуміти буквально. Так, у числі 7,00, яке замінює 6,9971 у попередньому прикладі, жодна з цифр не збігається з цифрами числа, хоча усі цифри цього числа є "вірними" в описаному вище сенсі |6,9971-7,00|<0,005. Однак вірні знаки наближеного числа часто збігаються з відповідними цифрами точного числа.

Відносна похибка наближеного числа безпосередньо залежить від кількості його вірних знаків. Наприклад, якщо наближене число  має три вірних знаки, то його відносна похибка  перебуває у межах від 0,05 до 0,5% (залежить від першої значущої цифри числа ). При збільшенні кількості вірних знаків на 1 відносна похибка зменшується у 10 разів.

На практиці зазвичай вважають, що число  є наближенням числа  з  вірними десятковими знаками, якщо . При такому визначенні в числі   при  будуть вірними цифри 6, 4, 7, 3 і його слід записувати у вигляді 647,3. Згідно з колишнім визначенням, оскільки 0,095<0,5, то у цьому числі будуть вірними лише три цифри 6, 4 і 7 і його слід записувати як 647.