Задание 11. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. — КиберПедия 

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Задание 11. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями.



Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями, то площадь вычисляется по формуле:

Пример. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями: .

Решение. Дан эллипс с полуосями: большая — , малая — . Сделаем чертеж к задаче (рис.4).

Рис. 4

В силу симметричности фигуры вычислим  площади. Найдем пределы интегрирования:

так как , то ;

.

.

.

Следовательно, площадь (кв.ед.).

 

Задание 12. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.

В полярной системе координат элементарной фигурой является кри­­­­во­­­­­ли­­­­ней­­­ный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле:

Рис. 5

 

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение. Так как  определяет расстояние до соответствующей точки, то . Следовательно, область определения функции определяется неравенством . Общее решение этого неравенства имеет вид:

 где .

Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения , то область допустимых значений функции  в полярной системе координат состоит из трех промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:

Выбрав несколько значений  из указанных промежутков, построим график функции (рис. 6).

Рис.6

В силу симметричности фигуры вычислим  площади, где полярный угол

.

.

Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).

 

Задание 13. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:

.

Замечание. При вычислении длины кривой, заданной параметрическими уравнениями, нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.

Пример. Вычислить длину дуги астроиды, заданной уравнениями:

.

Решение.

Вычислим производные функций:

.

Вычислим подынтегральную функцию:

.

.

Следовательно, длина дуги (ед.).

 

Задание 14. Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями в декартовых координатах.

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где - непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело вращения (рис.7), объем которого вычисляется по формуле:

Рис.7

Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , , , где - непрерывная функция, вращать вокруг оси ординат, то получим тело вращения (рис.8), объем которого вычисляется по формуле:

 

Рис.8

 

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где (рис.9), то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:

.

Рис.9

 

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс и кривой  вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.10 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .

Рис.10

Точки пересечения кривой  с осью : .

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

(куб.ед.).

 

Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью ординат и кривой вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.11 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .                                                        

Рис.11

Кривая  — это парабола с вершиной (-4;2), которая пересекает ось ординат в точках

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения:

 (куб. ед.).

 

Пример. Фигура, ограниченная линиями  и ,вращается вокруг . Найти объем полученного тела вращения.

Решение. На рис.12 изображена фигура, которая вращается вокруг оси .  

Рис.12

Точки пересечения параболы  и прямой .

Следовательно, пределы интегрирования: .

Искомый объем тела вращения вычислим по формуле:

.

 (куб. ед.).

 


Поделиться с друзьями:

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.023 с.