Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2024-01-17 | 80 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями, то площадь вычисляется по формуле:
Пример. Вычислить площадь эллипса, заданного параметрическими уравнениями: .
Решение. Дан эллипс с полуосями: большая — , малая — . Сделаем чертеж к задаче (рис.4).
Рис. 4
В силу симметричности фигуры вычислим площади. Найдем пределы интегрирования:
так как , то ;
.
.
.
Следовательно, площадь (кв.ед.).
Задание 12. Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах.
В полярной системе координат элементарной фигурой является криволинейный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле:
Рис. 5
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линией
Решение. Так как определяет расстояние до соответствующей точки, то . Следовательно, область определения функции определяется неравенством . Общее решение этого неравенства имеет вид:
где .
Отсюда . Так как в полярной системе координат выполняются ограничения на область изменения , то область допустимых значений функции в полярной системе координат состоит из трех промежутков, описывающихся соответствующими неравенствами:
Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график функции (рис. 6).
Рис.6
В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол
.
.
Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).
Задание 13. Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле:
.
Замечание. При вычислении длины кривой, заданной параметрическими уравнениями, нижний предел интегрирования должен быть меньше верхнего предела интегрирования.
Пример. Вычислить длину дуги астроиды, заданной уравнениями:
.
Решение.
Вычислим производные функций:
.
Вычислим подынтегральную функцию:
.
.
Следовательно, длина дуги (ед.).
Задание 14. Вычисление объема тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями в декартовых координатах.
Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где - непрерывная функция. Если ее вращать вокруг оси абсцисс, то получим тело вращения (рис.7), объем которого вычисляется по формуле:
Рис.7
Если криволинейную трапецию, ограниченную линиями , , , , где - непрерывная функция, вращать вокруг оси ординат, то получим тело вращения (рис.8), объем которого вычисляется по формуле:
Рис.8
Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная линиями , , , , где (рис.9), то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле:
.
Рис.9
Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью абсцисс и кривой вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.10 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .
Рис.10
Точки пересечения кривой с осью : .
Следовательно, пределы интегрирования: .
Искомый объем тела вращения:
(куб.ед.).
Пример. Криволинейная трапеция, ограниченная осью ординат и кривой вращается вокруг оси . Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.11 изображена криволинейная трапеция, которая вращается вокруг оси .
Рис.11
Кривая — это парабола с вершиной (-4;2), которая пересекает ось ординат в точках
Следовательно, пределы интегрирования: .
Искомый объем тела вращения:
(куб. ед.).
Пример. Фигура, ограниченная линиями и ,вращается вокруг . Найти объем полученного тела вращения.
Решение. На рис.12 изображена фигура, которая вращается вокруг оси .
Рис.12
Точки пересечения параболы и прямой .
Следовательно, пределы интегрирования: .
Искомый объем тела вращения вычислим по формуле:
.
(куб. ед.).
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!