Основные методы интегрирования.

Задание 1. Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.

 

Пример. .

Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:

 

 

Пример. .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:

.

Следовательно, используя формулы 7 и 8 таблицы интегралов, получим:

 

Пример. .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки, и воспользуемся формулами 2 и 4 таблицы интегралов:

.

Задание 2. Интегралы с квадратным трехчленом.

Интегралы с квадратным трехчленом - это интегралы вида: , , .

Для вычисления этих интегралов необходимо выделить в квадратных трехчленах знаменателей полный квадрат. В первых двух случаях квадратный трехчлен перепишется в виде: , в третьем случае он будет иметь вид: . В результате интегралы сводятся к табличным интегралам.

Замечание. Если коэффициент при  в квадратных трехчленах не равен 1, то его предварительно нужно вынести за знак интеграла.

Пример. .

Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся формулой 10 таблицы интегралов:

Пример. .

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 14 таблицы интегралов:

.

Пример . .

Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 12 таблицы интегралов:

.

 

Задание 3. Замена переменной.

Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией .

Сделаем замену переменных, положив , где функция  удовлетворяет следующим двум условиям:

1) - непрерывная функция;

2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.

Тогда .

После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.

Пример. .

Решение.

.

 

Пример. .

Решение.

.

 

Пример. .

Решение.

Полагая  и продифференцировав обе части этого равенства, получаем:

 или .

Тогда первоначальный интеграл равен:

.

 

Пример. .

Решение.

.

 

Задание 4. Интегрирование по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:

,

где и  — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла  сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

Применяется формула в следующих случаях:

1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , .

В этом случае в качестве  выбирается многочлен .

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве  выбирается многочлен.

.

 

2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.

Это интегралы вида: , , , , .

В качестве  следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.

Пример. .

Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве  выбирается логарифмическая функция.

.

3) Интегралы вида: , .

Метод интегрирования по частям применяется два раза до появления исходного интеграла. Оба раза в качестве   берем либо , либо тригонометрическую функцию. Получаем уравнение относительно исходного интеграла и решаем его.

Пример. .

Решение. Это интеграл вида:  (3 случай). Поэтому в качестве   выберем .

.

Обозначим исходный интеграл .

Получим уравнение:

;

;

.

Таким образом, .

 

В некоторых случаях метод интегрирования по частям надо применять неоднократно.

Пример. .

Решение.

.