Задание 5. Интегрирование рациональных дробей.

Выражения вида ; , где а - вещественное, k,l - натуральные числа, а квадратный трехчлен  не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.

 

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен  степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

,

где - число; .

Дроби вида , где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.

Дробь называется правильной, если  (m и nстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно). Если , дробь называется неправильной.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: .

Теорема. Любая правильная рациональная дробь  может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.

 

Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида  порождает следующую сумму из слагаемых:

;

2) каждый сомножитель вида  порождает следующую сумму из  слагаемых:

.

 

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:

.

Пример. Разложить дробь  на простейшие дроби.

Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель):

.

Разложим знаменатель на простейшие сомножители:

.

Тогда

;

.

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители:

.

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

.

Решая ее, находим: .

Окончательно получим: .

 

Из разложения следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Интегрирование простейших дробей:

I. ;

II. ;

III. .

Этот интеграл вычисляется методом выделения полного квадрата.

IV. , квадратный трехчлен  не имеет действительных корней.

Первый интеграл берётся заменой:

,

второй интеграл вычисляется по формуле:

В результате получили формулу, в которой подынтегральное выражение имеет степень на единицу меньше. К нему вновь применяем ту же формулу пока не получим в знаменателе степень равную единице.

 

Пример. .

Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

.

Составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

.

Отсюда .

Следовательно, .

Теперь вычислим исходный интеграл:

.

 

Пример. .

Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:

.

.

.

Решая систему, получим: .

Тогда исходный интеграл примет вид:

.

 

Пример. .

Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:

.

Теперь вычислим интеграл:

.

 

Пример. .

Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:

.

.

.

Решая систему, получим: .

Тогда исходный интеграл примет вид:

.