Задание 7. Интегрирование иррациональных выражений.

Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, а, следовательно, могут быть выражены через элементарные функции. Пусть R(u) — рациональная функция переменной u. Возможны несколько случаев.

1) Интегралы вида:  и , где  и  – рациональные функции от  и , соответственно, а  — натуральное число.

С помощью подстановок  и  указанные интегралы сводятся к интегрированию рациональных функций от t и z, соответственно.

 

Пример. .

Решение. Сделаем замену , откуда , . В результате получим:

 .

Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:

.

Таким образом, , где .

 

Пример. .

Решение.

Полагая , имеем , , .

Откуда:

.

Таким образом, мы пришли к интегралу от рациональной функции переменной t, представленной неправильной дробью. Интегрируем ее методом выделения целой части:

.

Таким образом, , где .

Пример. .

Решение. Сделаем замену , откуда , , .

Имеем:

, где .

 

2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида ,  и т.д. или ,  и т.д.

Сводим к интегрированию рациональных функций от переменных tи z с помощью подстановок  и  соответственно, где k - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, p, …

Пример. .

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится на 2 и на 3) равно 6. Поэтому произведем замену переменной . Тогда , , , .

Следовательно,

, где .

Пример. .

Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 4. . Поэтому производим замену переменной . Тогда , .

Следовательно,

, где .

3) Интеграла вида .

— рациональная функция от  и , - натуральное число и выполнено неравенство .

С помощью замены переменной  нахождение такого интеграла сводится к интегрированию рациональной функции от t .

Пример. .

Решение. Положим , откуда , , , .

Следовательно,

,

где .

Пример. .

Решение. Полагая , имеем , , .

Тогда

, где .

 

4) Тригонометрические подстановки.

Интегралы , ,  приводятся к интегралам от рациональных функций относительно  и  с помощью следующих тригонометрических подстановок:

для интеграла : ;

для интеграла : ;

для интеграла : .

 

Пример. .

Решение. Это интеграл второго типа. Поэтому применим подстановку .

Тогда .

.

Следовательно,

, где .

 

Пример . .

Решение. Этот интеграл первого типа и поэтому применим подстановку .

Тогда , .

Следовательно,

, где .