Гармонический анализ периодических движений.

б) Колебания пилообразной формы

Периодические колебания пилообразной формы, представленные на рис. 111, можно описать функцией , определяемой в промежутке . При других значениях аргумента функция повторяется с периодом .

Как видно, , т.е. функция является нечётной, поэтому из (347) следует, что

(352).

Коэффициенты Фурье определяется в соответствии с (343)

(353).

Значение интеграла удобно находить по правилу интегрирования по частям. По этому правилу, если подынтегральное выражение можно представить в виде , то с точностью до постоянной интегрирования можно записать:

(354).

Полагая и , находим далее, что , а . Используя правило (354) интегрирования по частям, можно записать, что (с точностью до постоянной интегрирования)

(355).

Учитывая это, значения коэффициентов в форме (353) перепишем в виде

(356).

Коэффициенты определяются из (354):

(357).

Интегралы записанного вида также удобно находить по правилу интегрирования по частям. В этом случае полагаем . Учитывая это, получаем далее, что .

55.1. Упругие волны.

Рассмотренные в разделе "Колебательное движение" колебательные системы могут служить моделью основной части источника или приёмника упругих колебаний. Теперь обратимся к изучению процесса распространения колебаний, передачи колебательного процесса от источника колебаний к приёмнику.

Изучая колебания различных колебательных систем, мы, как правило, не учитываем тех изменений, которые колебательная система производит в окружающей её среде. Между тем, колеблющееся тело, отклоняясь от положения равновесия, вызывает деформации ок­ружающего его участка среды и, соответственно, упругие напряжения. Силы упругости в деформированном участке среды действуют как на колеблющееся тело, так и на частицы слоев среды, граничащих с деформированным. Под действием упругих сил частицы со­вершают движение в соответствии с законами динамики. Таким образом колебательный процесс, возбуждаемый колеблющимся телом, начинает распространяться в среде. При периодических колебаниях источника периодическими будут и колебания различных частиц среды около их положений равновесия. С течением времени в колебательный процесс вовлекаются всё более и более удалённые от источника частицы среды. Такой процесс и называют обычно волновым, а изменяющиеся с течением времени периодические деформации среды - волной. Более того, даже если источник возмущений в среде является импульсным, а не периодическим, процесс распространения возмущений в среде всё равно называют волновым. Следовательно, для распространения колебаний, возбуждаемых источником, необходимо наличие упругой среды. Здесь и далее рассматриваются только упругие волны, хотя волновым процессом можно описывать и изменения в пространстве с течением времени и других по природе физических величин, например, температуры (для температурных или тепловых волн), напряженности электрического поля для электро­магнитных волн и т.д.