Упругие волны в газах. Волновое уравнение.

Для вывода волнового уравнения для газов выделим цилиндрический столб газа сечения S ₀, и длины Δx (рис.136). При распространении в столбе продольной звуковой волны граничные сечения испытывают смещения от первоначального положения. Смещение левого сечения равно ξ_x, а правого - ξ_x+Δx.

Удлинение столба равно разности смещений:

 

Относительную деформацию объема, выделенного столба газа через удлинение постоянном сечении запишем в виде:

 

 

Процесс распространения волны протекает настолько быстро, что теплообменом с окружающей средой можно пренебречь, т.е. процесс изменения состояния газа в выделенном столбе можно считать адиабатическим. Адиабатические процессы подчиняются уравнению р-V^γ = С, откуда: dpV^γ + γ V^γ-1∙pdV=0. Учитывая это, установим связь между относительной деформацией объёма и относительным изменением давления:

 

На торцы столба газа действуют силы давления. Если давление на левом торце равно

p_x,то на другом торце. Разность сил давления, действующих на столб газа в направлении распространения волны, равна:.

 

Масса газа может быть выражена соотношением ρ₀S₀Δx, где ρ₀ - плотность в недеформированном столбе длины Δх. По второму закону Ньютона

 

Плотность газа ρ₀ можно получить из уравнение состояния газа для начального (недеформированного) состояния:

откуда:

 

Подставив выражение плотности в уравнение движения, получим:

 

 

Давление р определяется через начальное давление и его изменение Δр при деформации столба: р = р₀ + Δр. Используя связь между относительным изменением давления и относительной деформацией объема, полученную ранее, изменение давления запишется в виде:

С учетом сказанного уравнение движения. для выделенного столба газа представим в виде:

 

т.е.

 

 

Это и есть волновое уравнение для газа. Решением волнового уравнения является уравнение плоской волны:

ξ = a sin(ωt - kx)

Учитывая, что:

 

 

получаем после подстановки этих значений в волновое уравнение:

 

Очевидно, что равенство выполняется при условии, что:

Так как, скорость волны в газе равна:

 

 

Скорость волны в газах, как видим, не зависит от давления, а определяется родом газа (значениями γ и μ) и его температурой Т.

Если рассмотреть подобным образом распространение волны в произвольном направлении в пространстве, уравнение волны получим в виде:

 

 

где: k_x,k_y,k_z - проекции волнового вектора на оси координат.

 

58.1. Интерференция воли.

В рассмотренных выше случаях колебания точек среды определялись действием одного источника колебаний. Картина распределения колебаний в среде изменяется, если они возбуждаются действием нескольких источников колебаний. В случае нескольких ис­точников в любом участке среды волна, возбуждаемая одним из них, распространяется так, как если бы других источников не существовало. Иначе говоря, выполняется принцип суперпозиции, согласно которому каждый из источников возбуждает колебания частиц среды так, как если бы других источников не существовало, а результирующее смещение частицы среды равно геометрической сумме смещений, вызываемых отдельными источниками. В общем случае картина сложения волн является довольно сложной, изменяющейся во времени.

Особый интерес представляет тот случай, когда частоты колебаний источников одинаковы, одинаковы и направления колебаний, что касается фаз колебаний источников, то они могут быть одинаковы, иди разность фаз не изменяется со временем. Такие источники называются когерентными. Для когерентных источников картина сложения волн (интерференционная картина) является устойчивой. Результирующее колебание в любой точке среды имеет постоянную амплитуду колебаний, зависящую от расстояния точки среды от источников волн (так называемой разности хода).

Относительно источников волн следует ввести дополнительные предположения. Для получения интерференционной картины удобно воспользоваться источниками сферических волн, поскольку в любой точке среды на одном и том же расстоянии от источника характе­ристики колебаний частиц среды одинаковы. В то же время амплитуда колебаний и другие характеристики движения зависят от расстояния от источника, уменьшаются по величине с ростом расстояния от источника. Если же рассматривать колебания частиц в небольшом слое среды, удаленном на достаточно большое расстояние от источника, характеристики движения частиц среды в этом слое можно считать одинаковыми. Поэтому далее будем рассматривать интерференцию от достаточно удаленных источников сферических волн. Сами же источники находятся на относительно близком расстоянии друг от друга. При таких предположениях амплитуды волн, приходящих от источников в выделенный участок среды, можно считать одинаковыми и в пределах этого участка - не зависящими от расстояний от источника.

Рассмотрим результат сложения волн в точке среды, находящейся на расстояниях и

от источников. Учитывая сказанное выше, уравнения волн в данной точке среды запишем в виде:

 

По принципу суперпозиции результирующее смещение частиц в этой точке равно:

 

 

Амплитуда колебаний частиц среды зависит от положения точки в пространстве (от разности хода). В зависимости от разности хода Dr амплитуда колебаний частиц может изменяться от нуля до максимального значения 2a(r).

Условие максимума амплитуды колебаний в точке среды имеет вид:

 

 

где п = 1,2,3,..., откуда максимум амплитуды колебаний имеет место при разности хода, равной:

 

т.е. максимум амплитуды получается в точках, для которых разность хода равна нулю или целому числу волн.

Условие минимума амплитуды определяется следующим равенством:

 

 

т.е. разность хода для этого случая должна быть равной:

где и =1,2,3,...

Следовательно, минимум амплитуды колебаний получается в точках, для которых разность хода равна нечётному числу полуволн.

Таким образом, в результате сложения двух волн в среде возникают колебания, амплитуда которых в общем случае различна для различных точек среды и определяется разностью хода.

В результате чередования в пространстве интерференционных максимумов и минимумов возникает интерференционная картина. Картина неподвижна, хотя и образуется бегущими волнами. Интерференционная картина не будет изменяться и в том случае, если возбуждать колебания в среде одними и теми же источниками в разные моменты времени, не изменяя их положения в пространстве.

В заключение отметим еще раз те предположения, которые были приняты в самом начале вывода. Во-первых, мы приняли, что расстояние от приёмника колебаний до источников много больше расстояния между самими источниками. В этом случае говорят, что приемник находится в далёком поле источников. При таком предположении можно считать, что оба источника находятся на одинаковых расстояниях от приёмника и бегущие волны от каждого из источников в данной точке среды имеют одинаковые амплитуды. Таким образом, результирующее колебание будет представлять собой суперпозицию двух гар­монических колебаний одинаковой частоты и одинаковой амплитуды, но фазы которых отличаются на постоянную величину (в частном случае разность фаз равна нулю). Следовательно, результирующее колебание также является гармоническим с амплитудой, зависящей от разности фаз складываемых колебаний.

Во-вторых, из тех же предположений, направления от точечных источников до выбранной точки среды можно считать параллельными.

58.2.Стоячие волны.

В качестве примера интерференции двух волн могут служить так называемые стоячие волны - результат суперпозиции двух волн одинаковой амплитуды, движущихся во встречных направлениях.

Рассмотрим две плоские волны одинаковой амплитуды, одна из которых распространяется в положительном направлении оси ОХ, а другая - в отрицательном. Соответствующим подбором начала координат и начала отсчёта времени можно добиться того, что в точке пространства с координатой х уравнения этих волн имеют вид:

 

Суперпозиция таких волн даёт результирующее колебание точек среды:

 

Как видно, результирующее колебание происходит с той же частотой, с какой частицы

среды колеблются в прямой и встречной волне. Амплитуда колебаний зависит от положения точки среды (координаты х), но для одной и той же точки остаётся постоянной с течением времени. Такую периодическую во времени и в пространстве картину называют стоячей волной, которая описывается уравнением стоячей волны (431).

Из уравнения стоячей волны легко получить зависимости от времени скорости и ускорения колебаний частиц среды около их положений равновесия:

 

Вид этих зависимостей, аналогичный уравнению стоячей волны для смещений, позволяет сделать заключение, что скорости и ускорения колебаний частиц около их положений равновесия также образуют стоячие волны.

Относительную деформацию участка среды, в котором установилась стоячая волна, также легко определить из уравнения стоячей волны (431):

 

Вид распределения относительной деформации (434) также позволяет сказать, что и для неё устанавливается стоячая волна. Из уравнения стоячей волны (431) видно, что для некоторых точек среды амплитуда колебаний равна для любого момента времени нулю (такие точки называются узлами стоячей волны). В других точках амплитуда колебаний максимальна и равна 2а, эти точки назы­ваются пучностями стоячей волны. Определим координаты узлов и пучностей

стоячей волны.

Отметим сначала, что амплитудой колебаний для стоячей волны называют, строго говоря, величину А = |2acoskx|. Поэтому максимуму амплитуды колебаний для любого

момента времени отвечает условие, где n - целое число. Из этого условия координаты пучностей стоячей волны равны:

 

Аналогичным образом определяется условие минимума амплитуды колебаний:

откуда координаты узлов стоячей волны равны:

 

Очевидно, что расстояние между соседними узлами или между соседними пучностями равно половине длины проходящей волны. Расстояние между соседними узлами или между соседними пучностями называется длиной стоячей волны, следовательно, длина стоячей волны связана с длиной проходящей волны соотношением:

 

Из уравнения стоячей волны (431) следует, что для любого момента времени частицы среды между соседними узлами имеют смещения одинакового знака. Иначе говоря, эти частицы одновременно проходят положение равновесия и одновременно достигают положений максимального отклонение в одну сторону от положения равновесия. По другую сторону от узла все частицы на расстоянии до следующего узла также одновременно проходят свои положения равновесия и одновременно достигают максимальных отклонений, но уже в другую сторону от положения равновесия. Следовательно, между соседними узлами частицы колеблются в одинаковой фазе, а при переходе через узел фаза колебаний скачком изменяется на.

Сравнивая уравнения стоячей волны (431), (432) и (433) для смещений, скоростей и ускорений, заметим, что фаза ускорения от скорости и фаза скорости от смещения

отличаются на. Для них же совпадают узлы и пучности. Что же касается стоячей волны

 

(434) для относительной деформации, то её узлы совпадают с пучностями стоячей волны для

смещений и наоборот.

Поскольку для узлов смещений относительная деформация принимает максимальные значения, в этих точках будут максимальными и упругие напряжения (силы).

На практике стоячие волны получают в результате наложения бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред. В зависимости от условий на границе раздела стоячая волна принимает тот или иной вид.

Например, стоячая волна образуется в результате сложения бегущей волны с отраженной от более плотной среды. Как было получено в 17.7., от более плотной среды происходит антифазное отражение, амплитуда отраженной волны изменяет свой знак на противоположный. Так как фаза меняется на противоположную на расстоянии, равном половине длины волны, факт антифазного отражения называют потерей полволны. Вследствие этого результирующее смещение, если пренебречь изменением амплитуды при отражении, в любой момент времени на границе раздела сред равно нулю, т.е. при отражении от более плотной среды на границе раздела сред образуется узел стоячей волны. Если же отражение происходит от менее плотной среды, знак амплитуды отраженной волны тот же, что и у волны, падающей на границу раздела сред. Поэтому на границе раздела сред образуется пучность стоячей волны, амплитуда колебаний частиц в которой равна удвоенной амплитуде падающей волны.

 

Колебания треугольной формы

Колебания треугольной формы (рис.112) описываются функцией , определённой в промежутке и , определённой в промежутке . Так как , функция является чётной, а для чётной функции по (346)

Прежде всего определим по (345) значение постоянного члена разложения:

(362)

Определяем далее по (343) коэффициенты :

В этом выражении значения интегралов находим по правилу интегрирования по частям, как в предыдущем случае:

Для чётных значений

а для нечётных

Используя найденные значения коэффициентов , и, записываем разложение Фурье для колебаний треугольной формы в виде