Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-09-28 | 2067 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В декартовой системе координат компоненты вектора – это величины проекций вектора на координатные оси. Обычно координаты обозначаются , а единичные векторы, направленные вдоль осей координат (векторы базиса), – . Тогда, компоненты вектора будем обозначать как . Следовательно, справедлива запись:
.
Часто имеют место так называемые индексные обозначения. Координаты обозначаются как (предполагается, что , , ). Векторы базиса при этом обозначаются , а компоненты вектора - . Тогда вектор можно записать в виде:
.
Существует удобное правило для краткой записи сумм такого вида, называемое правилом Эйнштейна: если в одночленном выражении с буквенными индексами два индекса совпадают, то считается, что по этим индексам производится суммирование, а знак опускается. Таким образом, вместо , используется запись .
Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое и равное произведению длин векторов , и косинуса угла между ними:
Примечание: В декартовой ортогональной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих компонент:
Длина вектора определяется по формуле:
Величина проекции вектора на направление, задаваемое единичным вектором , равна скалярному произведению :
Векторным произведением двух векторов и называется вектор, обозначаемый иперпендикулярный векторам и и направленный так, что с его конца переход от к происходит против часовой стрелки.
Длина этого вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и . Для векторов базиса ортогональной декартовой системы координат имеем: , и т.д. Поэтому векторное произведение в декартовой системе координат представляется в виде следующего определителя:
|
Если некоторая величина задана во всех точках рассматриваемой области, то можно говорить о поле этой величины. Например, поле скорости – это совокупность скоростей всех точек среды в рассматриваемой области.
Предположим, что в каждой точке некоторой области нами задано значение скалярной физической величины , т.е. такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном теле, потенциал электрического поля и т.д. При этом называется скалярной функц ией точки; записывается это так: .
Если в области задана скалярная функция точки , то говорят, что в этой области задано скалярное поле.
Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.
Производной функции по направлению в точке называется предел:
Градиент
Градиентом скалярного поля называется вектор, обозначаемый или , проекциями которого на оси координат служат значения частных производных :
Физический смысл: Градиент функции есть вектор, направление которого указывает направление наибыстрейшего возрастания функции , а его модуль равен наибольшей скорости изменения функции в определенной точке.
Если в каждой точке области задан определенный вектор, то говорят, что в этой области задано векторное поле.
Поток вектора
Пусть векторное поле образовано вектором .
Возьмем в этом поле некоторую поверхность и выберем на ней определенную сторону. Обозначим через единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности в произвольной ее точке; проекциями вектора служат направляющие косинусы нормали . Рассмотрим интеграл по поверхности S от скалярного произведения вектора поля А(Р) на единичный вектор нормали n:
|
(1.1) | ||
Если – поле скоростей текущей жидкости, то интеграл (1.1) выражает поток жидкости через поверхность S. В произвольном векторном поле интеграл (1.1) будем называть потоком вектора через поверхность и обозначим буквой .
Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:
Таким образом, вычисление потока вектора сводится к вычислению интеграла по поверхности. Из определения следует, что поток вектора – величина скалярная. Если изменить направление нормали на противоположное, т.е. переменить сторону поверхности , то поток изменит знак.
Особый интерес представляет случай, когда – замкнутая поверхность, ограничивающая некоторую область . Если рассматривается внешняя нормаль, то мы будем говорить о потоке изнутри поверхности . Он обозначается так:
Когда векторное поле представляет поле скоростей жидкости, величина потока К дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области Ω, и количеством жидкости, поступающей в эту область.
Если , то в область жидкости втекает столько же, сколько и вытекает. Так, например, будет для любой области, расположенной в потоке воды, текущей в реке.
Если же величина отлична от 0, например, положительная, то из области жидкости вытекает больше, чем втекает. Это означает, что в области имеются источники, питающие поток жидкости. Наоборот, если величина отрицательна, то это указывает на наличие стоков – мест, где жидкость удаляется из потока.
Дивергенция
Рассмотрим некоторую точку векторного поля находящуюся внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью , целиком содержащейся в поле. Вычислим поток вектора через поверхность и возьмем отношение этого потока к объему области , ограниченной поверхностью :
В поле скоростей жидкости это отношение определяет количество жидкости, возникающее в единицу времени в области , отнесенное к единице объема, т.е., как говорят, среднюю объемную мощность источника; если поток изнутри поверхности меньше , то соответственно говорят о мощности стока.
Найдем теперь предел отношения
при условии, что область стягивается в точку , т.е., стремится к .
|
Если этот предел положителен, то точка называется источником, а если отрицателен, то стоком. Сама величина предела характеризует мощность источника или стока. В первом случае в любом бесконечно малом объеме, окружающем точку , жидкость возникает, а во втором случае исчезает. Предел этот называется дивергенцией или расходимостью векторного поля в точке .
Дивергенцией, или расходимостью векторного поля в точке называется предел отношения потока вектора через поверхность, окружающую точку , к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность стягивается в точку .
Дивергенцию поля обозначают символом . Таким образом,
где предел вычисляется при условии, что поверхность стягивается к точке .
Математически дивергенцию можно выразить следующим образом:
где значения частных производных берутся в точке .
Циркуляция
Пусть векторное поле образовано вектором .
Возьмем в этом поле некоторую линию и выберем на ней определенное направление. Обозначим через вектор, имеющий направление касательной к линии и по модулю равный дифференциалу длины дуги. Направление касательной считается совпадающим с выбранным направлением на линии.
Рассмотрим криволинейный интеграл по линии от скалярного произведения векторов и :
(1.2) | ||
В силовом поле интеграл (1.2) выражает работу при перемещении материальной точки вдоль линии .
Если – произвольное векторное поле, а – замкнутый контур, то интеграл (1.2) носит специальное название – циркуляция вектора.
Циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура называется криволинейный интеграл по этому контуру от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру:
Физический смысл циркуляции вектора в случае, когда – поле скоростей текущей жидкости: примем для простоты, что контур - окружность, расположенная в некоторой плоскости. Предположим, что окружность является периферией колесика с радиальными лопатками, способного вращаться вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Если циркуляция будет равна 0, то колесико будет оставаться неподвижным: силы, действующие на лопатки, уравновешивают друг друга. Если циркуляция не равна 0, то колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше величина циркуляции.
|
Ротор
Ротором векторного поля или вихрем называется вектор
Проекция этого вектора на любое направление дает предел отношения циркуляции вектора поля по контуру, лежащему в плоскости, проходящей через точку , к площади, ограниченной этим контуром. Этот предел будет наибольшим в том случае, когда направление нормали совпадает с направлением .
Введенные нами основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор удобно представлять с помощью символического вектора («набла-вектор»), называемого оператором Гамильтона (Гамильтонианом):
1. Произведение набла-вектора на скалярную функцию дает градиент этой функции:
2. Скалярное произведение набла-вектора на векторную функцию дает дивергенцию этой функции:
3. Векторное произведение набла-вектора на векторную функцию дает ротор этой функции:
Оператор Лапласа – это оператор вида:
|
|
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!