Вращательное движение. Равномерное движение точки по окружности. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение

Координаты частицы выразим через величину радиуса окружности r и угол φ: x=r cosφ,

y=r sinφ.

Поскольку движение происходит по окружности, r от времени не зависит. Функцией времени является только угол φ (t). Производная от угла по времени называется угловой скоростью вращения w:

. (3.1)

При равномерном вращении по окружности w=const и можно проинтегрировать это уравнение, результате

φ =wt+const. (3.2)

Константа интегрирования выбирается из условия φ (0) = 0. Таким образом,

x=r coswt,

y=r sinwt.

Это полностью определяет движение.

Для характеристики изменения угловой скорости вводится понятие – угловое ускорение.

Средним угловым ускорением называется вектор < >, равный отношению вектора Δ = ₂ – ₁ к промежутку времени Δ t, в течение которого произошло изменение угловой скорости:

< > = .

Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени, получим вектор мгновенного углового ускорения тела в момент времени t:

= = (3.3)

или с учетом, что угловая скорость есть первая производная угловой координаты от времени

= . (3.4)

Очевидно, что вектора < > и совпадают по направлению с вектором изменения угловой скорости Δ .

При рассмотрении вращательного движения мы ввели угловую скорость вращения w как производную по времени от угла поворота. Давайте теперь зададимся вопросом, какой величиной, скалярной или векторной, является угол поворота. Ведь когда говорят о повороте, нужно указывать не только величину угла поворота, но и то, вокруг какой оси происходит вращение (поворот) и в какую сторону (по часовой стрелке или против). С этой точки зрения угол поворота должен быть величиной векторной. Поэтому, говоря о повороте на какой-то малый угол D φ, можно приближенно говорить о векторе D φ, величина которого равна углу поворота, а направление показывает направление оси вращения так, чтобы поворот происходил по часовой стрелке, или в соответствии с правилом буравчика.

Если речь идет о бесконечно малых поворотах dφ, тогда бесконечно малым является и перемещение dr. Его величина (равная длине хорды) совпадает теперь с длиной дуги, то есть \dr\=rdφ, а по направлению вектор dr совпадает с касательной, то есть перпендикулярен r. В результате мы имеем три взаимно перпендикулярные вектора r, dr и dφ, образующие правую тройку, причем |dr| = dφ r. Те, кто помнят из школьного курса о векторном произведении векторов, без труда сообразят, что искомое соотношение можно записать в виде векторного произведения:

dr =[d φ ´ r ]. (3.5)

Разделив обе стороны этого равенства на бесконечно малый временной интервал dt, в течение которого произошло изменение вектора r на dr, мы получим .

Но величина, стоящая в левой части равенства, есть не что иное, как скорость частицы υ, а производная = w называется вектором угловой скорости. Ее мы вначале ввели по абсолютной величине, а теперь показали, что имеет смысл говорить об угловой скорости вращения как о векторе. Ее величина определяет величину угловой скорости (скорость вращения, или скорость изменения угла), а направление параллельно оси вращения, причем так, что имеет место правило буравчика. Итак, мы получили, что υ = [w ´ r]. Ориентация этих трех векторов показана на рис. 3.2.

Чтобы получить ускорение а, надо от обеих частей взять производную по времени. Если wпостоянно (как по величине, так и по направлению), то ускорение оказывается перпендикулярным угловой скорости вращения w и скорости движения υ. А поскольку последняя направлена по касательной, то, значит, ускорение направлено либо параллельно r, либо антипараллельно.

Поскольку вектор ускорения не совпадает по направлению с вектором скорости, то удобней ускорение разложить на две компоненты:

в направлении скорости – _t (тангенциальное ускорение); в перпендикулярном направлении – _n (нормальное ускорение), т.е.

= _t + _n

или

а = (3.6)

Тангенциальное ускорение _t характеризует быстроту изменения численного значения скорости движения, нормальное ускорение _n характеризует быстроту изменения направления скорости, тогда

= , а _t = , а _n = .

Поскольку вращательное движение может быть описано не только в угловых переменных, но и в линейных, установим между ними связь.

Из рис. видно, что d r = R sin d φ = R d φ (если угол выражен в радианах). По определению , тогда

υ = ω R. (3.7)

Нормальное ускорение а _n = , тогда