Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
 2017-06-29 |
 284 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Довольно распространенный тип движения механических систем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. Мы рассмотрим эти движения в наиболее простом случае, когда система имеет всего лишь одну степень свободы. Это значит, что для однозначного определения положения системы в пространстве достаточно задать всего одно число. Это не обязательно должна быть декартова координата, а в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор какой-то другой величины. Такая величина, однозначно характеризующая положение системы, называется ее обобщенной координатой.
Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия U(q) как функция некотоpой обобщенной координаты q имеет минимум. Отклонения от этого минимума приводят к возникновению силы −dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. Обозначим соответствующее минимуму значение координаты q через q0. Считая, что U(q0) = 0, и вводя обозначение
х = q − q0, (10.1)
получим
U(x) =kx2/2 (10.2)
Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы есть квадратичная функция обобщенной скорости q’и в общем случае имеет вид
В том же приближении малых колебаний, которое мы использовали ранее, достаточно заменить функцию a(q) на ее значение при q= q0. Вводя для краткости обозначение a(q0) = m, получим окончательно для полной энергии системы выражение
(10.3)
то есть выражение, формально совпадающее с энергией механической системы "грузик+пружинка". В механике доказывается теорема, что если выражение для полной энергии двух систем как функция их обобщенных координаты и скорости совпадают, то совпадают и уравнения их движения.
|
|
Уравнение движения гpузика, как известно, имеет вид ma = F, где возвращающая сила F = −kx,
или
тх’’+кх = 0 (та = -кх).
Сокращая на m, его можно переписать в виде
x’’+w2x=0 (10.4)
где 
.
Дифференциальное уравнение х’’+w2х = 0 является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, оно имеет двалинейно независимых решения. В данном конкретном случае легко проверить, что это функции
sin wt и cos wt.
Общее решение представляет собой линейную комбинацию этих двух решений:
х = c1 cos ωt + c2 sin ωt, (10.5)
где c1 и c2 — произвольные постоянные. Это выражение можно переписать в виде
х = А cos (ωt + α)
Поскольку cos (ωt + a ) = cosωt cosa − sinωt sina, то, сравнивая с (10.5), получаем
где c1 = А cos a, а c2 = −А sina.
сos φ и sin φ являются периодическими функциями от t с периодом
.
Период колебания – промежуток времени, в конце которого точка оказывается в том же положении и движется с той же скоростью, как и в его начале.
Периодические колебания, при которых смещение меняется по закону sin или cos называются гармоническими колебаниями.
Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент А называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой, αесть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени. Величина ω называется циклической частотой колебаний, или просто частотой.
Частота ω является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения, и в частности от энергии. Согласно формуле , то есть она полностью определяется свойствами механической системы как таковой. Hеобходимо, однако, подчеркнуть, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний. Оно исчезает при переходе к более высоким приближениям.
Зная уравнение смещения точки при гармоническом колебании
|
|
х = А cos φ = А cos (φ 0 + ωt)
легко найти уравнения изменения других кинематических и динамических характеристик.
Скорость движения точки
υ = 
= – ωА sin φ = – ωА sin (φ 0 + ωt).
Ускорение движения точки
a = 
= 
– ω 2 А cos φ = – ω 2 А cos (φ 0 + ωt)
или
a = – ω 2 х.
Из полученных уравнений и их графического представления следует:
– смещение х, скорость υ, ускорение а точки меняются гармонически с одинаковой циклической частотой ω и периодом Т;
– амплитуда колебаний | х max | = | A |, | υmax | = | ωА |, | a max | = | A ω 2 |;
– фазы колебаний различны:
– колебания скорости опережают колебания смещения на 0,5 π,
– колебания ускорения опережают колебания смещения на π.
Энергия системы, совершающей малые колебания, есть
Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
|
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!