Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое. — КиберПедия


Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Разностью потенциальных энергий в рассматриваемом и нулевом положениях называется работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из рассматриваемого положения в нулевое.



Таким образом, потенциальная энергия определена не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.

Пусть система перешла из положения 1 в положение 2 по какому-либо пути 12. Тогда, как следует из рис. 7.2,

А12 = А10 + А02 = А10 - А20 = U1 - U2 = -U2 – U1 ,

то есть работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы при переходе ее из точки 1 в точку 2.

С другой стороны, работа силы равна приращению кинетической энергии системы

Al2 = Ul-U2 = K2-K1, (7.2)

поэтому

K1+ U1= K2 + U2. (7.3)

Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется ее полной энергиейЕ. Мы получили, что полные энергии в положениях 1 и 2 равны: Е1 = Е2, или, что то же самое, полная энергия сохраняется:

Е= К + U = const. (7.4)

Таким образом,

В системе с одними только консервативными (и гироскопическими) силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может.

Это положение называется законом сохранения энергиив механике. Примеры потенциальной энергии в некоторых простейших случаях:

-U= mgh — потенциальная энергии однородного поля тяжести. Начало отсчета h = 0.

-U= kx2/2 — потенциальная энергия растянутой пружины. Начало отсчета х= 0.

-U= -GMm/r — потенциальная энергия гравитационного притяжения двух точечных масс т и M. За начало отсчета выбрана бесконечно удаленная точка.

 

Сила и потенциальная энергия

Зная силу как функцию координат материальной точки F(x,y,z), можно путем интегрирования (нахождения работы) определить потенциальную энергию системы

U1=U(x,y,z)-U(0)=A10=-A01=- Fdr (7.5)

(знак минус перед интегралом обусловлен тем, что при интегрировании в этой формуле мы движемся от точки 0 к точке 1).

Другая задача — вычисление силы F(x,y,z) по заданной потенциальной энергии U(x,y,z). Это, естественно, обратная операция — дифференцирование. Пусть у нас есть две бесконечно близкие точки, r+ dг и г. Тогда

U(r+dr) – U(r) =dU= -F • dr. (7.6)

Расписывая скалярное произведение, получаем

dU = -(Fx dx + Fy dy + Fz dz). (7.7)

Следовательно, (7.8)

(это есть частная производная)

Таким образом, компоненты силы можно найти, дифференцируя потенциальную энергию системы по координатам х,у и z.

Если ввести единичные орты i, j и kвдоль осей координат X, Y и Z, то формулу для силы можно будет записать следующим образом:

F = Fxi+Fyj+Fzk=-( )= -gradU. (7.9)

где мы ввели обозначения:

grad U= (7.10)

Величина, стоящая слева, называется градиентом скалярной функцииU (U(x,y,z) — скаляр). Эта величина является вектором, поскольку определяет действующую на материальную точку силу. Таким образом, дифференцирование по координатам скалярной функции дает вектор.



Наряду с обозначением градиента как gradU применяется обозначение ÑU, где оператор Ñ (набла) определяется следующим образом:

Ñ=

Используя это обозначение, мы можем записать

gradU = Ñ U = ( ) U= (7.11)

 






Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...





© cyberpedia.su 2017-2020 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.007 с.