Функция    является производной 

1                                                                      

 

            2    4    6  8 10

-0,4

 

 

- бесконечные периодические функции с уменьшающейся амплитудой.

                                                   (*)

Характеристическое уравнение для расчёта корней.

 

 

Анализ решения.

Поскольку временная функция такая же как и в предыдущей задаче для , температурное поле описывается так же одним членом ряда.

1)

                                                             

 

 

Поверхностный слой цилиндра мгновенно принимает температуру окружающей среды.

2)                        

 

 

                                                              (Порядок малости)

                                 подставим в (*), получим:

 

Рассчитаем при :

При  вне зависимости от Фурье решение описывается первым членом ряда:

Изобразим температурное поле при :

 

                                                                    

 

 

                                        

 

      0              1

 

Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров.

Рассмотрим два варианта:

1) Параллелепипед:

                                                                                 

 

Разместим начало координат в центре параллелепипеда и обратим внимание на то, что параллелепипед есть пересечение трёх бесконечных пластин, лежащих в координатной плоскости.

Теорема о перемножении решений: если безразмерная функция есть решение задачи для бесконечной пластины толщиной ,функция есть решение задачи для бесконечной пластины с толщиной , а функция  есть решение задачи для пластины толщиной , то общим решением задачи для параллелепипеда будет функция равная произведению этих решений:

Речь идёт о решении задачи с температурным полем.

Замечание:

· Речь идёт только о безразмерных функциях.

· Речь идёт об уравнении теплопроводности.

· вид граничных условий должен быть одинаковым для трёх задач (условия III рода), а начальные условия должны быть равные и равны .

Если хотя бы одно условие не выполняется, то теорема не подходит.

 

2) Цилиндр конечных размеров:

                           

                                                                      Рассмотрим цилиндр - это

                                                                      пересечение двух бесконеч-

                                                                      ных тел – цилиндра и

                                                                      пластины.

 

                                                                                      

 

 

Решением является:

или:

 

Определение количества тепла, отдаваемого телами при охлаждении.

Постановка задачи: определить количество тепла отдаваемого в окружающую среду телом, охлаждённым с первоначально постоянной температуры  до заданной  (средняя температура).

 

Полное количество тепла запасённого в теле по определению:

- масса тела

Если мы имеем тело, которое можно считать бесконечным, то количество тепла определяется с единицы поверхности.

Для бесконечной пластины:

Для бесконечного цилиндра:

 

Тепло, оставшееся после охлаждения до

 

Отданное окружающей среде тепло:

Где: 

Если мы осредним эту функцию по времени, мы получаем решение задачи.

 

1) Бесконечная пластина:

 

                                

 

Рассмотрим частные варианты вырождений чисел БИО:

1)

 

2)                                  

                  

 

Бесконечный цилиндр:

Важно найти среднюю температуру в данный момент времени.

Смотри справочные данные. Поиск сводится к средней температуре.