Теорема Гухмана о подобных явлениях.

     Подобными процессами будут являться:

1) качественно одинаковые процессы, описываемые одинаковыми дифференциальными уравнениями (в безразмерной форме) и имеющие одинаковую физическую природу.

2) условие однозначности подобных процессов должны быть одинаковыми, кроме численных значений постоянных величин, содержащихся в них.

3) Одноимённые критерии подобия должны иметь одинаковую численную величину.

 

Система уравнений в приближения пограничного слоя.

 

Сделаем ряд допущений:

1) Задачу будем решать стационарную:

2) Отсутствуют внутренние источники тепла:

3) Диссипативными составляющими пренебрегаем:  

4) Будем рассматривать плоскую задачу в плоскости ХУ:

5) Влиянием поля силы тяжести пренебрегаем (вынужденные течения).

(1) – уравнение неразрывности

(2)

(2) – уравнение сохранения количества движения.

 (3) – уравнение энергии.

                                                      

 

Приведём к безразмерному виду:

                                                                                  ?                набегающего

                                     набегающий поток                          потока

        

  Представим себе, что мы рассматриваем параметры на значительном удалении от входа, то есть , тогда:

Если составляющими, имеющими такие сомножители пренебречь, получим:

(1) 

(2)

                                      это уравнение выпадет.

(3)

  Это уравнения приближений Прандтля – уравнения конвективного теплообмена в приближении пограничного слоя.

 

Характеристика степени турбулентности потока.

Рассмотрим стационарную задачу – турбулентный режим потока. Если в конкретную точку потока поставить чувствительный датчик, реагирующий на любые изменения потока:

 

Этот параметр пульсирует в                                конкретной точке (параметр самовозмущения)

 

 

Т – некий период времени:

Отклонение температуры и скорости от средних значений называется пульсацией температуры или скорости соответственно.

  - средний квадрат пульсации скорости.

Основная характеристика турбулентности:

  - по скорости. - скорость потока на входе в канал. Чем больше , тем более развита турбулентность потока. - по температуре (аналогично).

Расчёт теплоотдачи при продольном обтекании пластины.

                                                  Пусть в потоке размещается пластина, температура которой отличается от температуры потока.

 

 

Вне зависимости от режима течения потока на входе, формирующийся пограничный слой имеет ламинарный режим течения. Он может перейти в переходный режим, а затем в турбулентный режим. Характеристикой режима течения в пограничном слое является число Рейнольдса.

 - переходный режим.

 - ламинарный режим.

   является функцией степени турбулентности набегающего потока. Чем больше степень турбулентности, тем короче ламинарный режим.

  Условно принято считать, что  близко к действительности только для обтекаемой входной кромки пластинки. Никогда ламинарный режим не переходит сразу в турбулентный:

  - координата перехода ламинарного режима в переходный;

  - координата перехода переходного режима в турбулентный.

Рассмотрим ламинарный пограничный слой, где  и будем считать для него справедливыми уравнения приближения пограничного слоя.

Решим сначала, так называемую, гидродинамическую задачу. Постановка задачи – рассчитать поле скоростей в пограничном слое, толщину пограничного слоя и коэффициент трения:

  Коэффициент трения – это параметр, равный:

            (по Ньютону)

      

  Коэффициент трения входит во все расчеты.

 

Запишем уравнения пограничного слоя:

(1)

уравнение неразрывности.

(2)   

уравнение количества движения.

     - вследствие приближений тонкой пластины (Под тонкой пластиной понимается физически тонкое тело вместе с пограничным слоем, когда ускорением потока можно пренебречь).

  На границе:

(3)    

                                                  (1)

(2) - математическая постановка задачи.

(3)

                                                      

Из (1) следует:

Назовём функцией потока параметр :

                                                  Отсюда ясно, что:

            

  Если это так, то полный дифференциал функции двух переменных выражается следующим образом:

  Нам нужны ещё граничные условия:

Если : 

 

Если :  

Если , тогда:

А так как , то: .

    Введём “поперечную” координату , связанную с двумя координатами у и х соотношением:

  Отметим, что:

  Определим безразмерную функцию потока:

  На стеночке    

Сделаем замену переменных:  и преобразуем:

 

                            I                                              - поле скоростей

                          II                                            - коэффициент трения

 

Результатом решения такой задачи будут:

 уравнение неразрывности .

Для решений уравнений теплообмена достаточно уравнений I и II без их решения.

  Запишем граничные условия:

  Система уравнений I,II – это математическая постановка задачи для нахождения  Эта задача преобразуется в задачу Коши и решается численно.

 

Результаты численного решения.

 

   - относительная величина пограничного слоя.

 отличается от на 1%. Значение производной

Выражение для коэффициента трения при ламинарном режиме течения у пластины:

 

По профилю скорости:

 

   1

 

0,5

 

 

                  1     2     3     4    5     6

 

1 – численное решение гидродинамической задачи;

2 – точное решение уравнения Навье-Стокса

 

Для точки :

 

 

 

        1

 

0,5

 

 

                     1     2     3     4    5     6

 

 

1 – численное решение гидродинамической задачи;

2 – точное решение уравнения Навье-Стокса.

  Из этого следует, что решение гидродинамической задачи даёт качественно неверный результат. Расхождение по поперечной составляющей сильно зависит от числа Рейнольдса. Принято некорректным решать задачу для . Решение гидродинамической задачи будет с погрешностью. Вывод: численный расчет подтвердил наше предположение о то, что решение гидродинамической задачи с погрешностью отличается от точного. Принято считать удовлетворительным решение задачи при ламинарном течении при   

 

Решение задачи теплообмена на пластине.

 

Рассмотрим ту же самую задачу, но теперь пластина обогреваемая:

                  

 

Известно:  вдоль пластины.

Введём:

Введём безразмерную

  Математическая постановка задачи:

1) Уравнение энергии:

2) Граничные условия третьего рода:

Граничные условия:

  Заменим безразмерной , а координаты х и у – на :

  В качестве примера:

                                                                                    (1)

 

                                                                                    (2)

  Это математическая постановка задачи теплообмена на пластине в безразмерной форме.

Граничные условия:

  Выразим  через уравнение I. Сделаем предположение, что поле температур слабо влияет на поле скоростей, тогда мы можем вернуться к решению гидродинамической задачи для необогреваемой пластины.

Из I следует: , подставим в уравнение (1):

 

  Используя граничные условия, найдём значения

                                                      

 

 

Решение имеет вид:

 

  Мы решили задачу для интенсивности теплообмена для пластины (распределение температур в пограничном слое). Аналитически задача не решаема, если  - не целое число, так как тогда интеграл не существует. Рассмотрим задачу для значений числа Прандтля:

1)    

Это значит, что:

 

  При  безразмерное поле температур в ламинарном пограничном слое совпадает с безразмерным полем температур.

Продемонстрируем это на графике:

 

                                                                                                             

 

 

                        

                        

2)

3)

Режим течения ламинарный:

(*) , если  (найдено опытным путём).

 если  (характерно для расплавленных металлов).

  (*) – принято для , если режим течения среды ламинарный.

  Если Pr=1, то: , а значение  мы определили в гидродинамической задаче: .

  Обозначим:

  Итак: - характеризует эффективность теплообмена на пластине.

 

Формула Польгауза.

Формула представляет собой аналитическую зависимость.

Теплообмен при продольном обтекании пластины и турбулентном режиме течения.

Аналогия Рейнольдса.

 

                           Эпюра температур                 Эпюра скоростей

 

                                                                                      Турбулентное ядро

 

 

                                                                                                движение 

                                                                                                массы

                                                                                             моль

 

обтекаемая кромка

пластины

 

 - толщина вязкого подслоя.

  При любом режиме течения среды в пограничном слое вблизи омываемой стенки (пластинки) существует тонкий вязкий подслой. Под вязким подслоем понимается подслой с режимом течения ламинарным.  

Соединим точки пересечения эпюр скоростей и температур с вязким подслоем и обозначим индексом границы подслоя: . Положительное направление потока – это направление от стенки.

    Существует некая плоскость А-А, параллельная нашей пластине. Назовём область невязкого подслоя – турбулентным ядром.

  Обозначим:  - плотность обмена молями

                         - плотность теплового потока, обусловленного обменом молями.

В ядре: макромеханизм 

                                                                        переноса

                               микромеханизм переноса

Гипотеза Фурье: - механизм поперечного обмена теплом.

Гипотеза Ньютона:

  Молекулярный механизм переноса тепла показывает, что плотность теплового потока пропорциональна касательным (молекулярным) напряжениям. Турбулентный перенос тепла пропорционален турбулентному напряжению. При этом из элементарных макромасс записываем:

Это математическое отражение аналогии Рейнольдса.

  Из аналогии Рейнольдса следует:

предположим, что в вязком подслое изменение температуры и скорости линейны. То есть в вязком подслое  мы предположили линейность распространения температурного поля и поля скоростей:

(1)   

  В зоне  суммарное тепло тождественно определено механизмом молекулярным:

  Параметры , следовательно в любой точке по у тепловой поток . Воспользуемся тем, что нам известны параметры на стенке:

(2)   

  В турбулентном ядре механизм переноса тепла суммарный:

  Предположим, что (если мы рассматриваем большие числа Рейнольдса). Опытными данными установлено, что это работает, если . Значит:

  Рассмотрим границу вязкого подслоя со стороны турбулентного ядра  и констатируем факт: ни один из параметров среды не может иметь разрыв своего численного значения на границе вязкого подслоя. Тогда:

 - на границе.

  Допущение: представим себе всю область турбулентного ядра как условную плоскость А-А через которую переносится тепло и количество движения, тогда:

(3)

Для    (4)

                                                  Рассмотрим совместно уравнения (2) и (4):

Из (2)

Из (4)

                                                  Сложим их:

Где:

 по определению: (*)

Где:

Заменим  в выражении (*) на коэффициент трения :

(**)

  Введём определение: безразмерный комплекс равный  называется критерием Стантона:

                                                  Из (**) получаем:

  Интенсивность теплообмена напрямую зависит от трения на стенке.

 

Рассмотрим ситуацию, когда :

(***)

Для ламинарного режима мы имели:

Для турбулентного режима экспериментально была найдена связь :

Если мы перейдём к коэффициенту трения, то получим

подставим в (***).

  Если :

                                                                                     опытные данные.

Расчёт интенсивности теплообмена при вынужденном стабилизированном течении жидкости в трубе.