Температурное поле и тепловые потоки в плоской стенке

a) Предполагаем, что внутренние источники (стоки) тепла отсутствуют:

b) Предполагаем, что стенка бесконечна по осям y и z.

    z                              

                                                     - постоянная толщина

                                                                         к плоскости стенки

                           x t ₁

   y

 

t ₂

                                   0                                           x

 

Заданы граничные условия первого рода:

                                                                             (по всей плоскости)

 

 

Искомые величины: t (x), q (x).

В бесконечной плоской стенке поле температур меняется в одном направлении – задача одномерная:

Уравнение теплопроводности для нашего случая будет выглядеть следующим образом:

(*)               

Проинтегрируем:

 

По Фурье:

В плоской бесконечной пластине (стенке) при граничных условиях первого рода в виде постоянных температур плотность теплового потока по нормали к стенке есть величина постоянная, независящая от координаты.

 

 

 Проинтегрируем (*) во второй раз:

Разделим обе части уравнения на , получим:

Где:  - среднее значение l для выбранного интервала температур.

по аналогии:  

 

 

Величина  есть термическое сопротивление плоского слоя.

Рассмотрим многослойную пластину, причём количество слоёв произвольно:

                                                            Заданы:,

                                                                                так же известны.

                                                                                    

                                                                                     - могут отличаться

                                                              друг от друга, т. к. пластинки

                                                                   могут быть из разных материалов.

  0                                                                    x

 

               n

Свойства любого слоя постоянны по осям x и z.

Решая соответствующие уравнения теплопроводности, мы получим:

 

;        ; …

Плотности теплового потока по оси х согласно нашему условию есть величина постоянная и на границе не может быть скачка согласно закону сохранения.

Просуммируем:

так как величина , вынесем её за скобки:

 Разделив на выражение в скобках обе части, получаем:

                по аналогии       

                                                          термическое сопротивление                                                                                                                        

- индекс слоя.                          многослойной стенки.

 

Заменим n +1 на k:

 

 

Значения температур

Заменим 1 на k:                      на границе по ходу -

                                                   - слева или справа.

 

 

 

Найдём температурное поле в плоской стенке.

Вернёмся к уравнению теплопроводности после первого интегрирования:

а) Пусть ; проинтегрируем:

Температура в i – том слое:

б) Для переменного значения l:

       Пусть

Проинтегрировав это выражение, получим:

 

                       

Умножим обе части уравнения на :

Раскроем скобки:

Прибавив и отняв от правой части уравнения, получим:

 

Рассмотрим два случая:

1)    

 

Откуда t равно:

 

2)     

 

В этом случае:

 

Объединяя эти два случая, получим решение нашей задачи:

t₁ + b                                               

 

                     t₂                                 где

       -b

Температурное поле и плотность теплового потока в цилиндрической стенке.

 

          r ₁                                          Заданы: r ₁, r ₂; l (t)

                                             

           r₂                                              ;                  ;

 z      t₁

                                       По координате z цилиндрическая стенка                                      

                                   t ₂   бесконечна.

 

Заданы граничные условия первого рода:

          Все температуры по длине цилиндра = const

     - задача превратилась в одномерную.

Это условие вместе с граничными условиями есть математическая постановка задачи.

Так как        ;                       

 

Рассмотрим два геометрических тела:

1) Сплошнойцилиндр: