Нестационарные процессы теплопроводности.

Запишем решение нестационарных задач в декартовых координатах.

Начальные условия  должны быть заданы.

Граничное условие задаётся в виде граничных условий III рода:

- любая координата (x, y, z).

 Кроме того, мы должны знать внешние параметры, то есть размеры

и теплофизические параметры:

Незнание одного из условий переводит задачу в нерешаемую.

 

Поместим болванку в печь

 

 

                                                     - температура на оси или центральной пл-ти

 

Изменение температур в разных точках тела будет разным. На поверхности температура будет расти сразу, внутри – через некоторое время (время запаздывания). Имеет место разность температур в разных точках тела.

 

Охлаждение (нагревание) бесконечной пластины.

 

Задача решается одинаково и для нагрева и для охлаждения.

Будем считать, что пластина бесконечна постоянной толщины .

 Разместим начало координат в серединной плоскости.

 

Постоянное поле температур в начальный момент времени.

 Известно:

             

             

                    Задача одномерная, пусть  

 

- уравнение теплопроводности

для нестационарной задачи.

Зададим ряд постоянных начальных условий:

                  

Два граничных условия:

1)  - условие симметрии. Температуры в симметричных точках относительно оси z равны. Будем решать задачу от 0 до .

2) Граничные условия III рода:

Используем метод разделения переменных.

Предположим, что решение может быть представлено как произведение двух функций: одна функция зависит от времени, другая – от координат.

Ищем решение:

Пусть:                           

                                                  (*)

                                        

Эти функции могут быть равны, только если (*) = const.

                                       Решение первого уравнения:

 

 

Решение второго уравнения:              

Воспользуемся условием симметрии:

Отсюда

Итак: , где: .

Сгруппируем:      умножим на    .

 

Обозначим:

                                                                                               

- характеристическое       

                                                                                  уравнение для расчёта

                                                                                  корней

 

 

 

                                                                                               правая часть

 

             левая

             часть

 

 

Решений этого характеристического уравнения бесконечное множество. Решению удовлетворяет множество принятых нами значений k.

Введём безразмерную координату:

 - критерий Фурье или безразмерное время.

Общее решение задачи:

где:  - безразмерное отношение разности температур.

Согласно принятому начальному условию :

через коэффициент А:

                                                 (*)      

                                 Разложение функции в ряд Фурье

(это четная функция)

Если мы возьмём область определения от до  и проинтегрируем от до :

                                                                                                                         

Домножим (*) на  и проинтегрируем:

Константа А_п для любого частного решения определяется начальными условиями задачи:

                                                                                                                 

 

 

Анализ решения.

Поскольку в решение входит exp с отрицательным показателем, то при больших временах exp – бесконечно малое. Значит, ряд является быстро сходящимся. Если ряд быстро сходящийся, то можно ограничиться только первыми членами ряда. Большим временем можно считать . Если , то ограничиваются только первым членом ряда:

 

                                                        F(Bi)                    F(Bi,X)

В таблицах и монограммах рассчитано для двух точек (в середине пластины

Х =0 и на поверхности Х =1)

 

 

                           

Одна монограмма для Х =0, другая – для Х =1

 

Случаи вырождения чисел БИО.

 

Вырождение – достижение некоторых предельных значений. Предельными значениями БИО являются бесконечно большие и бесконечно малые.

1) Бесконечно большое число Bi: .

можно применять предельный подход:

при :

 

Если мы рассмотрим выражение для :

причём:

так как , то

Изобразим это:

                                                                                                                

 

 

                                                                                                     

 

 

                                                                                                                 

Если поместить пластину в печь, то температура на её поверхности сразу станет равной температуре печи.

Если , мы получим:

- температура на оси при больших временах.

Выражая  через , мы получим:

Это время достижения заданной температуры в центре пластины.

2) Бесконечно малое Био:

На практике Био вырождено, если

Корни характеристического уравнения:

При этом:

Для тонких тел температура описывается одним членом ряда независимо от числа .

Определим порядок при :

                             

Поэтому для малых Био поле температур описывается одним единственным членом ряда:

 

 

Изобразим эту зависимость:

 

 

 

                                         

 

                                                                                 

 

 

Это означает, что разница температур в центре и на поверхности стремится к нулю.

3) Рассмотрим :

 

 

                              

                                    

 

 

Охлаждение (нагревание) бесконечного цилиндра.

Рассмотрим бесконечный цилиндр радиусом .

Известен материал, , . Цилиндр размещён в среде с постоянной , коэффициент теплоотдачи .

Начальная температура в любой точке цилиндра

Задача является одномерной.

 

 

решением является:

 

 

Почти уравнение Бесселя

его решениями являются функции Бесселя

- функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

- функция Бесселя первого рода первого порядка.

 

Начальные условия:

 

 

Граничные условия:

1)          - условие симметрии.

2)       

Общий вид решения:

   - безразмерный радиус.

J₀  – аналогично

J₁  – аналогично