Терминология. Общее представление о передачи тепла.

Энергия, переносимая в результате разности температур – есть тепло:

                                                  [Дж]

Поток тепла: Q [Вт]- энергия, переносимая в единицу времени.

Плотность теплового потока: q [Вт/м²]

q_l – линейная плотность теплового потока [Вт/м].

q_v – объёмная плотность теплового потока (мощность внутренних источников теплоты) [Вт/м³].

 

Масса:  [кг].

Поток массы: М  [кг/с].

Плотность потока массы: j [кг/(м²с)]; j_l [кг/(м с)]; j_v [Вт/(м³с)].

Поток субстанции – это поток массы, поток тепла, либо одновременно и массы и тепла.

Определение процесса переноса тепла и массы может производиться двумя методами:

1) Феноменологический

При этом подходе микроскопический механизм взаимодействия частиц, составляющих тело, не рассматривается, описываются макроскопические параметры, которые поддаются измерениям, с помощью физических приборов.

Все вышеуказанные теории относятся к феноменологическому подходу.

Феноменологический подход опирается на интегральные законы сохранения (энергии, массы, неразрывности и т.д.).

Для конкретного описания любого процесса требуются замыкающие отношения, краевые условия, начальные условия. В замыкающих отношениях существуют эмпирические коэффициенты, получаемые из опыта.

На примере теории тепломассообмена укажем, что ещё нужно для описания процесса.

1) Модель среды.

Как правило, принимают модель сплошной среды или гипотезу сплошности.

Сплошная среда – среда с непрерывным изменением параметров от точки к точке в любом направлении. Параметры среды – это наиболее существенные для данного круга явлений физические характеристики среды.

Пример: V,F (площадь), l (характеризующий размер среды) – это всё внешние параметры среды.

  r, c, P, t(T) – теплофизические параметры среды.

w, G – внутренние параметры.

Среда – газообразные, твёрдые, жидкие тела (среды).

2) Модель процесса или явления.

Различают физическую и математическую модель.

Физическая модель – это, например, если данную среду мы можем описать как идеальный газ; или если мы полагаем, что тело твёрдое.

 При составлении математической модели в обязательном порядке нужно принимать законы сохранения.

Гипотезы - опираются на опытные данные и используются в совокупности законов сохранения для описания процессов.

Если обмен энергией осуществляется с изменением внешних параметров среды, то говорят, что совершается работа. Если внешние параметры неизменны, а энергия передаётся, то говорят, что передаётся тепло.

Если имеет место передача тепла, то этот процесс называют теплообменом; если при этом ещё происходит и обмен массой, то процесс называется тепломассообменом.

Связь между потоком субстанции и количеством субстанции выражается через отношения:

где:

СРЕДА

- нормаль к поверхности, окружающей                              

среду,

F – площадь поверхности, окружающей

среду.

Кинетический подход.

Этим методом изучается вероятность состояния системы; для этого необходима информация о каждой частице, составляющей систему. На практике мало применим.
 

Перенос тепла осуществляется тремя способами:

1) Теплопроводность – перенос тепла в телах или между ними Обусловленный движением микрочастиц тела. Для газов – движением молекул. Для твёрдых тел – движение электронов или нестройные упругие колебания молекул. Для металлов – движение электронов. Для жидкостей - нестройные упругие колебания молекул.

2) Конвекция – перенос тепла при перемещении объёмов среды. Поскольку происходит передвижение макрообъёмов, то среда является «текучей». Следовательно, процесс конвекции характерен для газов и жидких тел. Поскольку среда состоит из микрочастиц, то конвекция сопровождается теплопроводностью. Конвективный теплообмен – совокупность теплообмена и конвекции.

3) Излучение (тепловое или радиационное) – процесс передачи тепла с помощью электромагнитных волн. Особенностью такой передачи тепла является двойное превращение:

   Среда 1                  1                                                     2

Тепло                э/м волна               Тепло

                                                                                                                                                 Среда 2

Все эти процессы передачи тепла происходят только при разности температур (в отличие от массообмена).

Если мы возьмём конвективный теплообмен между двумя средами, разделёнными твёрдой перегородкой, то процесс передачи тепла от горячей среды к холодной называется теплопередачей.

                                           q      Теплопередача

                                

Теплообмен                                    

 

                «гор»            «хол»

 

 

                                                                           Теплообмен

 

Возьмём в пространстве изоповерхность x (поверхность с постоянным параметром)

                    y

 

                              n₀

 

x

 

 

            x-Dx    x    x+Dx

                                                                    

Градиент параметра – вектор направленный по нормали к поверхности постоянного значения параметра в сторону его увеличения и численно равен его производной по этому направлению.

 

                                                                         

 

 

Следует говорить о проекциях этого вектора на ось координат:

(grad t) _x = = cos (n ₀; x) – проекция на ось Х;

(grad t) _y = = cos (n ₀; y) – проекция на ось Y;

Фундаментальные соотношения, используемые в качестве замыкающих соотношений в теории тепломассообмена.

1) Закон Фика: плотность потока массы вещества с концентрацией с прямопропорциональна градиенту концентрации:

              

                                                                                  [ ]

D – коэффициент диффузии [м²/с]

r - плотность [кг/м³]

2) Гипотеза Фурье: плотность теплового потока прямопропорциональна градиенту температуры:

                   

                                                                             [Вт/м²]

а – коэффициент температуропроводности [м²/с]

c_p – изобарная теплоёмкость

                  - коэффициент теплопроводности [ ]

 

 

                                                        n ₀

 

                          t_F

                      n            Нормаль n ₀ обозначается для поля температур,

                                          n – нормаль к поверхности.

t=const             n₀

 

 

3) Гипотеза Ньютона-Рихмана: тепловой поток по нормали к стенке

пропорционален разности температур:

где:

t_F – температура стенки.

t _ж – температура жидкости. Если стенка расположена в бесконечном объёме жидкости, то t _ж есть температура в бесконечности. Если объем ограничен, то t _ж – средняя температура в рассматриваемом сечении.

a - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи [ ]. Не является физическим параметром среды.

Гипотеза Ньютона-Рихмана используется для решения задач теплопроводности и конвекции.

4) Гипотеза излучения

 Если мы имеем абсолютно чёрное тело, то энергия, излучаемая с его поверхности пропорциональна Т ⁴:

 ; 

  - постоянная Стефана- Больцмана.

Если поверхность не соответствует абсолютно чёрному телу, то для этого тела:

Функция e (T) – степень черноты – безразмерная величина.

Если мы имеем комбинацию холодных и горячих тел, то излучение тепла от горячего тела к холодному подчиняется закону Стефана-Больцмана: если одно тело горячее (1), а комбинация m холодныхтел (2) имеет одну и ту же температуру, тогда:

где: F ₁ – площадь поверхности горячего тела,

Q – общий поток тепла.

Вывод уравнения теплопроводности.

Уравнение теплопроводности – это частное представление энергии для среды, которую можно представить как твёрдое тело.

Мы рассматриваем среду произвольного объёма , произвольной массы , ограниченной поверхностью F. Есть внутренняя энергия этой среды и энергия потенциальная:                                               0

Е = U + E _кин + E _пот

 

Запишем:  через среднюю удельную энергию :

Получаем:                                                               0

Все последующие выражения справедливы для Р = const

Уравнение теплопроводности нельзя использовать, если внешние условия меняют внутренний состав твёрдого тела.

                                                  где

 

Рассмотрим процесс по времени и разложим H в ряд Тейлора вблизи точки t:

тогда:

Поток Q разобьём на две составляющие – на объёмную и поверхностную:

- объёмная генерация тепла.

 

По теореме Остроградского если есть некий вектор , то:

                                                                                                   

Q_F ^{По теореме Остроградского}  

 

 

В конце концов, получим:

Рассмотрим энтальпию как функцию двух независимых параметров – температуры и давления:         0   

 

          с _P

 

Предположим, что теплоёмкость по времени не меняется:

 

 Учитывая , окончательно записываем уравнение:

 

Это окончательный вид уравнения теплопроводности.

Рассмотрим частный вид уравнения теплопроводности; если l = const, то её можно вынести за знак оператора дивергенции:

где: