Составление акустической лестницы

 

Теоретически отношения между высотой и акустической частотой музыкальной ноты кажутся простыми: чем выше частота, тем выше тон. Но поражает то, что ноты музыки практически в каждой культуре дискретны. В пределах частоты, которую способно улавливать человеческое ухо, умещается бесконечное множество высот, так как разница между двумя ними может быть настолько незначительно малой, насколько вы пожелаете. Хотя постепенно можно дойти до точки, где мы больше не сможем услышать разницу между двумя близко расположенными друг к другу тонами (точно так же ограничена наша способность различать объекты визуально), все равно существует великое множество нот, из которых можно создавать музыку. Почему же мы пользуемся только ограниченной выборкой звуков и каким образом это подмножество было определено?

Похоже, сама природа создала базовое деление последовательной высоты тона – октаву. Если вы сыграете любую ноту на фортепиано, а затем сыграете ту же ноту на октаву выше, вы услышите «более высокую» версию первоначальной ноты. Это явление настолько общеизвестно, что практически не вызывает особого внимания. Любой человек, который когда‑либо пытался наиграть хоть одним пальцем простую мелодию на фортепиано, вскоре понимает, что ту же самую мелодию можно сыграть на октаву выше или ниже, просто нажимая клавиши в том же порядке. Сама октава закреплена на пианино в форме и расположении клавиш: пианисты‑новички учатся узнавать до и фа по клавишам в форме буквы L и циклические кластеры по две и три черные ноты.

Но эквивалентность октавы крайне сложна. Этот перцептивный опыт уникален и встречается только в музыке: не существует аналогов повторяющихся структур в визуальном восприятии или вкусе. Каким образом до первой октавы «похожа» на до выше или ниже нее – какое свойство ноты остается неизменным? Большинство людей скажет, что они звучат одинаково, – но что это означает? Очевидно, что они не одинаковы. Возможно, кто‑то заметит, что эти ноты вместе звучат хорошо или приятно, и такое утверждение породит еще больше вопросов.[11]

Считается, что Пифагор впервые сформулировал, каким образом тоны разной высоты внутри октавы связаны друг с другом. Апокрифическая история гласит, что греческий философ однажды вошел в кузню и услышал, как ноты вылетают из‑под тяжело падающих на наковальню кузнечных молотов. Он заметил математическую связь между повторяющимися тонами определенной высоты и размером (массой) наковален, которые их производили. Далее Пифагор исследовал звуки, которые возникают при щипании натянутых струн, и обнаружил, что тоны, которые гармонично звучат совместно, например, интервал октавы, обладают простым соотношением частот. Октава – самый простой пример: нота на октаву выше обладает удвоенной частотой первой ноты. То есть можно сказать, что высокая нота обладает половиной длины волны низкой ноты.

Можно визуализировать эти отношения с точки зрения длины играющей струны. Если сократить в два раза длину вибрирующей струны, положив палец на ее середину, то вы удвоите частоту и произведете ноту на октаву выше. Этот опыт легко воспроизводится на гитаре: прижав струну к грифу ровно посередине между точками соприкосновения струны с верхним и нижним порожком, вы получите звук на октаву выше, чем у открытой струны (Рис. 3.5а).

 

Рис. 3.5 Октаву можно сыграть на струне, прижимая ее посередине (а). Две ноты обладают длиной волны в соотношении 2:1 и частотой в соотношении 1:2. Прижав струну на третьей части, можно сыграть совершенную (пифагорейскую) квинту выше открытой струны (б), а прижав струну на четвертой части, можно произвести совершенную кварту (с).

 

Следующая по высоте октава снова удваивает частоту, то есть уже в 2×2=4 раза выше, чем первоначальная нота. Например, частота ноты ля третьей октавы (А6) составляет 4×440=1,760 Гц. Такой скачок в две октавы на гитарной струне можно сделать, зажав ее на три четверти и сыграв верхнюю четверть. И так продолжается дальше: каждая последующая октава влечет за собой очередное удвоение первоначальной частоты.

Почти все известные музыкальные системы основаны на делении тона на октавы: создается впечатление, что мы имеем дело с фундаментальной характеристикой восприятия высоты тона человеком. Позже мы разберем вероятные причины этого.

Но что сказать о нотах, находящихся в промежутках между октавами? И вновь легенда приписывает Пифагору объяснение того, как их выбирают в западной культуре, хотя в действительности это знание безусловно гораздо старше.

Если прижать пальцем третью часть вибрирующей струны и щипнуть оставшийся сегмент – теперь это две трети от открытой струны – то вы получите ноту выше менее, чем на октаву (Рис. 3.5б). Многие люди согласятся, что эта нота приятным образом сочетается с нотой открытой струны, то есть они звучат гармонично. Это пятая нота мажорной гаммы, которая начинается на открытой струне, значит, это нота соль. Если открытая струна настроена на до первой октавы, то новая нота – соль октавой выше. Дистанция (интервал) между этими двумя нотами называется совершенной квинтой (см. далее: Гаммы и интервалы).

 

 

ГАММЫ И ИНТЕРВАЛЫ

Набор тонов, из которых традиционно составляется музыка в определенной традиции, называется гаммой. Как мы убедились, ноты гаммы обладают дискретной высотой тона в непрерывном пространстве всех возможных тонов. Если представить плавное повышение тона в виде усиливающегося воя сирены, который похож на восходящий склон частоты, то гамма больше напоминает ступеньки или лестницу.

Западная музыка использует гаммы, унаследованные из греческой традиции, известные под названием диатонической шкалы («диатонический» означает «продвигающийся через тоны»). В диатонической шкале находится семь тонов внутри каждой октавы. Практически вся западная музыка в период между эпохой Возрождения и началом двадцатого века была основана на двух основных классах диатонической шкалы: мажор и минор. Мажорная гамма – это звукоряд с тоникой до, представленный только белыми клавишами (Рис. 3.6). Также существует несколько различных минорных гамм.

 

Рис. 3.6 Мажорные и минорные диатонические гаммы.

 

 

У каждой ноты в диатонической гамме есть техническое название. Я объясню их позже и время от времени буду их использовать, но на настоящий момент нам понадобится только познакомиться с первой: нота, с которой начинается гамма, называется тоникой. Например, в тональности до тоника до. Я часто указываю на другие ноты гаммы не по их техническим именам, а по их порядковому номеру: вторая нота (ре в гамме до мажор) записана, как 2, третья нота как 3 и так далее. Таким же образом я иногда записываю тонику под цифрой 1. Благодаря этому мы сможем избежать употребления технических терминов и указания тональности.

Наряду с семью нотами диатонической гаммы в пространстве октавы существуют еще пять других – например, все черные клавиши, находящиеся в пределах гаммы до мажор. Эти ноты лежат за пределами гаммы, но большая часть западной тоновой музыки их использует. Шкала, которая включает в себя все двенадцать нот, называется хроматической. Когда тональная музыка отходит от тонов диатонической шкалы, ее называют хроматической.

Шаг высоты тона между одной нотой и нотой выше нее – к примеру, между си и до или между фа и фа‑диез – называется полутон. Шаг из двух полутонов (например, между фа и соль или до и ре) называется тон. Терминология немного сбивает с толку, потому что словом «тон» можно назвать также и любой музыкальный звук, но я надеюсь, что из контекста будет понятно, что имеется в виду.

Любые две ноты разделены интервалом, который определяется соответствующим числом шагов на шкале. Таким образом, интервал между первой ступенью и пятой нотой гаммы – например, между до и соль – называется квинта (Рис. 3.7); технически его называют совершенной квинтой. Кроме кварт и квинт, остальные интервалы появляются в двух разных вариантах в зависимости от того, включают ли они ноту из мажорной гаммы или ноту на полутон ниже, минорную. Интервал большая терция – это шаг от до к ми, а соответствующая ей малая терция – это шаг от до к ми‑бемоль (Рис. 3.7). Единственный интервал, который не включает данная терминология, это интервал между тоникой (первой ступенью) и высокой 4 либо низкой 5 – например, от до к фа‑диез или соль‑бемоль. Иногда этот интервал называют увеличенной квартой или уменьшённой квинтой, но чаще используют название «тритон» – музыкальный интервал величиной в три целых тона: до‑ре‑ми‑фа‑диез. Интервалы также могут распространяться более, чем на октаву: например, интервал между до первой октавы и ре второй октавы – это октава плюс секунда, или интервал в девять ступеней, называемый (большая) нона. В принципе можно обозначить этот шаг как 1–9, но 9 также является второй нотой гаммы на октаву выше, поэтому чаще ее записывают в виде 2’, а прима обозначает начало новой октавы. Интервал в пределах октавы в этой нотации записывается 1–1’.

 

Рис. 3.7 Интервалы диатонической шкалы.

 

 

Каждый отдельный интервал включает определенное количество полутонов между нижней и верхней нотой: большая терция соответствует четырем полутонам, а малая терция – только трем.

На самом деле все зависит от подсчета. Сложнее становится от того, что интервалы не всегда определяются отсылкой к первой ступени (тонике) в той тональности, в которой звучат. Рассмотрим интервал от ми к соль, например. Это большая терция: соль на четыре полутона выше ми, а также она является третьей нотой в гамме ми минор. Но это не означает, что интервал ми‑соль находится в пределах музыки в ми минор. Он, например, также является интервалом между 3 и 5 гаммы до мажор и интервалом между 7 и 2’ фа мажор.

 

Таким образом, квинта как интервал отделяет тона, частота которых находится в соотношении 3:2. Убедившись, что этот интервал звучит очень приятно, последователи Пифагора вывели общий принцип: тона разной высоты, частоты которых находятся в простом соотношении, звучат «хорошо», то есть считаются консонантными (реальные отношения между консонансом и тем, что мы воспринимаем, гораздо сложнее, как мы вскоре убедимся). В консонантной чистой кварте – например, от до к фа – высоты тона соотносятся как 4:3 (Рис. 3.5с). Частота фа составляет четыре трети от до ниже нее.

Три простых соотношения частот – 2:1, 3:2 и 4:3 – дают нам три ноты, связанные с первоначальной: октава, чистая квинта и кварта, или 1’, 5 и 4. В тональности до это будут до’, соль и фа. Итак, у нас есть начало гаммы, набор нот, которые гармонично сочетаются друг с другом и которые мы можем использовать для создания музыки.

Можно рассмотреть далее ноты из других простейших числовых соотношений, таких как 5:4 и 6:5, и довольно скоро мы этим займемся. Но греки рассуждали иначе: они решили, что только три этих интервала могут стать основой для генерации других звукорядов, потому что те же математические трансформации можно применить к новым нотам 5 и 4. Для ясности давайте останемся с вариантами этих нот в тональности до – то есть это ноты соль и фа. Мы можем поднять соль на чистую квинту, увеличив ее частоту в соотношении 3:2 (умножим на 3/2). По отношению к первоначальной до – эта новая нота будет иметь частоту выше на 3/2×3/2 или 9/4, и соответствовать ноте ре’. Теперь, если мы вернем эту новую ноту в диапазон октавы до‑до’, опустив ее на октаву (уменьшив вдвое ее частоту), мы обнаружим ноту с частотой 9/8 от тоники до, соответствующую ре (Рис. 3.8).

 

Рис. 3.8 Переход от до к ре через квинты и октавы. Результат – соотношение частот 9/8.

 

Мы можем прийти к этой ре другим путем через шаги из кварт и квинт: на чистую квинту к соль и затем вниз к чистой кварте. Я не буду показывать это математически, но скажу, что мы снова получим ноту с частотой 9/8 от тоники. Система! Итак, у нас есть шкала до, ре, фа, соль, до’. Но зияют большие пробелы между ре и фа и между соль и до’. Их можно заполнить, сделав шаг, равный расстояниям между до и ре или между фа и соль, и оба будут являться приращением частоты 9/8. Применив это принцип к ре, мы получим ми с частотой в соотношении 81/64 от до, а если применить его к соль, мы получим ля с частотой в соотношении 27/16 от до. Такой шаг от ля дает нам си в соотношении 243/128. Эквивалентный способ получения дополнительных нот заключается в простом повышении тоники по нарастающей на квинту – от до к соль, от соль к ре’, от ре’ к ля’, от ля‘ к ми” и ми” к си” (Рис. 3.9), – а затем возвращением этих нот в диапазон первоначальной октавы.

И вот наша мажорная гамма. Тщательное изучение показывает, что она обладает любопытным неравномерным шаблоном ступеней повышения тона. Две первые ступени 1–2 и 2–3 обладают такой же шириной, как 4–5 и 5–6, соответствуя приращению частоты 9/8. Но ступени 3–4 и 7–1 (например, ми к фа и си к до’) меньше и равны 256/243. На современной фортепианной клавиатуре эти два типа шагов являются тоном и полутоном соответственно.

Получившаяся в результате гамма называется пифагоровой. По‑видимому, она проистекает из математически привлекательного способа итерирования гармонических интервалов – своего рода иерархии простого числового соотношения 3/2. На самом деле все частоты нот могут соотноситься с частотой тоники факторами 3 и 2: соотношение 3 и 7, например, это 3⁴/2⁶:1 и 3⁵/2⁷:1. Даже если от всей этой математики волосы встают дыбом, все равно в ней присутствует разумное логическое обоснование, берущее свое начало от простой пропорции. Пифагорейцы, для которых пропорция и число являлись фундаментальными составляющими вселенной, этим самым поставили музыку на прочную математическую платформу, предположив, что она является вариацией математики, а ее структура вписана в саму природу.

 

Рис. 3.9 Другие ноты в мажорной гамме можно «вставить» посредством того же шага на целый тон с приростом частоты 9/8 (а). В качестве альтернативы все ноты можно получить путем повторяющегося прибавления квинты вверх (или вниз, чтобы получить фа) и затем вернуть все ноты в диапазон одной октавы (б). Так складывается пифагоров строй.

 

ТОНАЛЬНОСТЬ И ТОНИКА

Термин «тональная музыка» для западных меломанов практически стал синонимом «мелодичной» музыки – музыки, которую можно напевать себе под нос, идя по улице. Почему так случилось и до какой степени это сближение справедливо – вот темы, которые я собираюсь обсудить немного позже. На текущий момент достаточно сказать, что тональность указывает на наличие в музыке тоники, то есть высоты или класса тона (из‑за воспринимаемой эквивалентности октав), который в некотором смысле укореняет музыку, обеспечивает ее опорной точкой, упорядочивающей все остальное. Идея тоники на самом деле гораздо сложнее, чем ее обычно объясняют в традиционной теории музыки, но все же можно сказать, что тоника указывает на тональность, в которой записана музыка. Другими словами, ноты музыки скорее всего будут взяты из гаммы (мажорной или минорной), которая начинается с тоники (первой ступени).

 

Рис. 3.10 Ключевые знаки

 

 

Тональность музыкального отрывка обозначается ключевым знаком в начале партитуры, который показывает, сколько диезов и бемолей используется (Рис. 3.10). Новичкам очень нравятся произведения в до мажоре, потому что в них редко попадаются черные клавиши: гамма не содержит диезов и бемолей. Тональность фа‑диез, тем временем, включает все пять черных клавиш в диапазоне октавы. Некоторые тональности выглядят даже более угрожающе: ре‑диез минор, в которой Бах беспечно написал одну из своих самых грандиозных фуг их «Хорошо темперированного клавира», заставляет пианистов поступаться привычкой всей жизни и играть фа (здесь ми‑диез) каждый раз, когда на нотной линейке появляется ми.

Если вы не обладаете абсолютным слухом (способностью четко распознавать музыкальные тоны на слух), то сыгранная на современном инструменте композиция будет звучать практически идентично в любой тональности исполнения. Перенос произведения в другую тональность называется транспозиция. Опытные музыканты могут выполнить ее мгновенно, пока читают ноты с листа. Многие настаивают, что разная тональность сообщает разный «характер», который можно расслышать даже без абсолютного слуха: концерт для фортепиано Грига будет звучать совсем иначе, если его перенести из «родной» тональности ля минор, например, в фа минор. Они скорее всего правы, но по более сложным причинам, которые мы исследуем в главе 10.

 

ЛАДЫ

Мы не знаем, на что была похожа музыка древних греков, потому что не существует зафиксированных в письме или нотах примеров произведений того периода, и ни одна композиция не сохранилась в устном варианте. В основном эта музыка, скорее всего, представляла собой импровизацию, ограниченную набором правил и общепринятых норм. Мы вынуждены гадать о ее природе, основываясь на заметках Платона и Аристотеля, которые в целом больше писали о музыке в рамках философского и этического диспута и не создавали технических учебников по практике исполнения.

Так или иначе, само слово «музыка» восходит к традиции тех времен: это «музыка», вдохновленная «музами». Вероятно, греческая музыка в основном существовала в вокальной форме и состояла из пропевания стихов под аккомпанемент таких инструментов, как лира и щипковая китара (от которой произошло название «гитара»). При этом Платон рассуждал о музыке, которую исполняли только на лире и флейте и не в качестве аккомпанемента к танцу или песне, что было бы «чрезвычайно грубо и безвкусно». Мелодию, видимо, составлял весьма ограниченный набор тонов, поскольку музыкальные инструменты обладали диапазоном в одну октаву, от одной ми (как мы теперь ее определили) до другой. Стихи, которые необходимо было пропевать под звуки лиры, назывались «лирическими» – отсюда произошел термин, которым мы обозначаем слова и песни. На самом деле вся поэзия была неразрывно связана с музыкой; когда Аристотель говорит о форме стиха, в котором есть только слова, то указывает, что у этого явления даже нет собственного имени.

Музыка древних греков вряд ли звучала бы для нас совсем уж странно, так как ее «гаммы» (здесь анахронический термин) скорее всего состояли из нот, достаточно близких по звучанию к современным. И в самом деле, нечто схожее с диатонической гаммой могло появиться еще в древнейшие времена: на основе расшифрованной любовной песни, записанной в 1400 году до н. э. на глиняной табличке, появилось предположение, что шумеры практиковали схожий подход.

Насколько нам известно, греки не пользовались гармонией – двумя и более разными нотами, звучащими одновременно (хотя такие созвучия наверняка возникали во время игры на щипковых инструментах, например, лире). Древнегреческая музыка была монофонической, где один голос пел мелодию, дублирующуюся на музыкальном инструменте. Чисто инструментальная музыка, по‑видимому, была большой редкостью. Удивляет тот факт, что пифагорейцы были заняты рассуждениями о гармонии, – но здесь они ссылаются на идею об упорядоченных отношениях между сущностями, например, на соотношение частот, выраженное целыми числами.

Старейшим греческим трактатом, посвященным теме музыки, считается сочинение Аристоксена «Элементы гармоники» («Harmonics»). Он изучал пифагорейскую традицию и стал учеником Аристотеля в четвертом веке до н. э. Из этого текста мы узнаем, что музыкальная система была основана на интервалах чистой кварты. Организационной единицей служил терахорд – последовательность из четырех нот, где самая высокая и самая низкая были разделены квартой, а средние ноты могли быть разными: несмотря на то что пифагорейцы тщательно проработали единую модель, по всей видимости, средние ноты настраивали на слух, а не с помощью математических вычислений. Тетрахорды складывали в различные сочетания, чтобы построить «звукоряды» в диапазоне октавы. Они получили название лады.

Не совсем ясно, что в действительности различные лады обозначали для греков: были ли они полностью различными «звукорядами» или тем же звукорядом, транспонированным в другие «тональности», или просто музыкой с разными свойствами. Возможно также, что названия разных ладов в разное время относились к разным явлениям. Некоторые музыковеды предполагают, что лады не являлись просто набором нот, из которых греки свободно создавали композиции, а соотносились с мелодическими фрагментами, готовыми секциями, из которых составлялись песни. Система подобного рода использовалась для создания византийских гимнов и сохранилась в других музыкальных традициях, главным образом в индийских рагах.

 

Рис. 3.11 Греческие лады по Птолемею, второй век н. э.

 

Рис. 3.12 Средневековые лады – натуральные и плагальные – и некоторые, добавленные позже. Параллельные вертикальные линии обозначают «финалис».

 

 

В любом случае к тому времени, как Птолемей (знаток музыки и астрономии) написал свой трактат «Гармоника» («Harmonia») во втором веке н. э., существовало семь ладов и они, видимо, приобрели статус гамм или звукорядов (Рис. 3.11). Самым распространенным был дорийский, который соответствует западной минорной гамме. Фригийский лад Птолемея тоже был «минорным», а лидийский является эквивалентом мажорной гаммы. Эти лады с некоторыми модификациями перешли в средневековую западную культуру, где их записывали нотами для литургических песнопений. К сожалению, отчасти из‑за неправильной средневековой интерпретации, лады литургической музыки того времени располагают на других нотах, чем у их древнегреческих тезок (Рис. 3.12). Греческий миксолидийский лад, например, проходит от си до си’ по белым клавишам, а средневековый миксолидийский – это гамма из белых клавиш от соль до соль’. Позже теоретики музыки представили новые лады, которым они дали античные имена: ионийский, разработанный швейцарцем Генрихом Глареаном в шестнадцатом веке, больше всего напоминает мажорную гамму, и эолийский, который в наши дни является одной из минорных гамм.

В диатонических звукорядах, которые используются сегодня, каждая гамма основана на определенной ноте (тонике). Средневековые лады не обладали тоникой, но в них присутствовали аналогичные закрепленные ноты. Одна из них называлась «финалис»: в так называемых натуральных ладах серия нот начиналась (здесь легко запутаться) с финалиса, а в плагальных ладах после финалиса начинается чистая кварта (Рис. 3.12). В большинстве псалмов в основе лежат простые формульные мелодии, называемые псалмовым тоном, где большая часть текста пропевается на одном «распевном тоне» под названием «тенор» (от латинского слова «tenere» – удерживать). Кроме того, существовали специальные псалмовые тоны, связанные с отдельными ладами. Получается, что не у всех нот в ладу был равный статус: финалис и тенор были особенными, подобно тому как некоторые ноты (например, тоника, терция и квинта) пользуются особыми привилегиями в диатонической тональной музыке.

Чтобы средневековым монахам было легче запоминать ноты, итальянский священнослужитель одиннадцатого века Гвидо д’Ареццо придумал удобное мнемоническое правило: ноты до, ре, ми, фа, соль, ля, заметил он, последовательно начинают строфы общеизвестного гимна «Ut queant laxis» слогами ut‑re‑mi‑fa‑sol‑la. Добавив седьмую ноту ti и заменив ut на do, из грегорианского псалма мы перенесемся сразу к Джули Эндрюс и хору австрийских детей, распевающих мажорную гамму.

Последовательность д’Ареццо из шести нот, имеющая название гексахорд, состоит из нот, разделенных целым тоном, кроме двух средних (ми, фа), которые отстоят друг от друга на полутон. Он предложил музыкальную схему, в которой все используемые ноты образуют серию гексахордов, начиная с соль, до и фа. Мелодии средневековых псалмов обладали высотой тона в диапазоне почти трех октав, от низкой соль до высокой ми. Самая низкая соль обозначалась греческим символом гамма как первая нота гексахорда и называлась gamma ut. К этому названию восходит английское слово «gamut» – гамма.

Чтобы сохранить шаг высоты тона в гексахорде, если серия начинается с фа, оду из «белых нот» приходится заменять. Так гексахорд состоит из фа, соль, ля, си, до, ре. Чтобы третий шаг остался полутоном, а четвертый целым тоном, си нужно уменьшить до полутона: говоря современным языком, ноту нужно понизить до си‑бемоль. Таким образом появились новые символы для обозначения си‑бемоль в гексахорде фа и «натуральной» си в гексахорде соль (гексахорд до не доходит до си). Первая обозначалась круглой буквой «b», или «мягкой b» (B molle), а вторая квадратной буквой «b», или «твердой b» (B durum). Отсюда пошли современные символы низкого варианта ноты и бекара (♭ и). Символ высокого варианта ноты ♯ также соотносится с последним. Таким образом, средневековая система гексахорда послужила истоком первого знака альтерации – модификации нот с целью попасть в нужную «гамму». С высоты современной тональной структуры мы можем сказать, что гексахорд с фа – это транспозиция гексахорда с до или соль в новую тональность.

 

 

Смена тональности

 

Каким бы «естественным» ни казался пифагоров строй, он страдает от серьезного недостатка, даже от двух связанных между собой недостатков. Во‑первых, мы начали с тезиса, что все гармонические звуки происходят из комбинации тонов с простым соотношением частот, но каким‑то образом пришли к звукоряду, в котором содержатся соотношения высоты тона вроде 81/64 и 243/128, а это не кажется таким уж простым! Во‑вторых, «большой» шаг пифагорова строя соответствует целому тону, а малые шаги – полутону. Значит, два малых шага должны в совокупности представлять то же, что и один большой шаг; но так не происходит! Повышение высоты на два полутона означает умножение частоты на (256/243)²!

И рождается пугающая дробь, которая не равна соотношению целого тона 9/8. Вообще, эти значения довольно близки, так что, может, нам не нужно беспокоиться? Но нет, беспокоиться нужно. Из‑за этого несоответствия пифагорова система не может дать нам небольшой набор нот, из которых мы можем сочинять музыку, – вместо этого она дает бесконечное число нот.

 

Рис. 3.13 Все хроматические ноты в западной гамме можно найти через повторяющийся цикл квинт (а). В конечном счете восходящий цикл приводит нас к фа‑диез, а нисходящий цикл – к соль‑бемоль. На современном фортепиано эти ноты эквивалентны – они находятся на одной и той же клавише, что означает, что цепочка квинт замкнулась (б). Но в пифагорейской системе, где каждый шаг строго соответствует «математической» чистой квинте (с соотношением частот 3/2), фа‑диез и соль‑бемоль не совпадают: их частоты отличаются на фактор, известный как пифагорейская комма, равная примерно 1.01364. То есть цепочка не замыкается, а движется по спирали (с). Независимо от длины цепочки квинт, мы никогда не дойдем до точки соприкосновения и будем все время получать новые ноты.

 

Как это произошло? Мы увидели, что одним из способов конструирования пифагорейской гаммы служит последовательное движение вверх изначальной ноты (тоники) на чистую квинту. Исключение составляет четвертая нота гаммы, фа в тональности до, которую мы отыскиваем шагом вниз на чистую квинту от тоники (соотношение частот).

Если мы продолжим этот цикл квинт, то обнаружим ноты не мажорной гаммы, а хроматической. Квинта вверх от си приведет нас к фа‑диез, квинта вниз от фа – к си‑бемоль (соотношение частот 2⁴/3²:1 или 16/9), а затем последовательно к ми‑бемоль, ля‑бемоль, ре‑бемоль и соль‑бемоль (Рис. 3.13а).

Кризис налицо. На фортепианной клавиатуре фа‑диез и соль‑бемоль являются эквивалентными нотами: они обе играются одной и той же клавишей. Другими словами, фа‑диез и соль‑бемоль представляют собой точку, где так называемый цикл квинт, начатый с до, замыкается сам на себе в полный круг (Рис. 3.13б). Но в пифагоровом строе ноты фа‑диез и соль‑бемоль не одинаковы: фа‑диез, к которой мы приходим восходящими шагами, обладает частотой 3⁶/2⁹ или 729/512 раз от до. А частота соль‑бемоль, которую мы находим, двигаясь вниз, превосходит до на фактор 2¹⁰/3⁶ или 1024/729. Разница совсем небольшая: примерно 1.01364 или, если совершенно точно, соотношение 3¹²/2¹⁹; оно известно как пифагорейская комма.

У пифагорова строя цепочка квинт не замыкается. Мы можем продолжать этот цикл, двигаясь вверх и вниз на квинту, и никогда не найдем полностью совпадающие верхнюю и нижнюю ноты. Например, от фа‑диез мы переходим к до‑диез, затем к соль‑диез. Эти ноты на современном фортепиано совпадают с ре‑бемоль и ля‑бемоль соответственно. Но в пифагоровом строе они отличаются на пифагорейскую комму. Цикл оказывается спиралью (Рис. 3.13с).

На самом деле проблема не так уж серьезна, если вся музыка написана в ограниченном числе тональностей, а проблемные ноты оказываются за пределами имеющихся тональностей и едва ли когда‑нибудь встретятся. В Древней Греции и средневековой Европе не существовало системы тональностей, подобной современной системе в западной музыке (читайте далее: Тональность и тоника). В то время музыкальная палитра варьировалась посредством использования различных ладов, которые мы с некоторой натяжкой можем считать гаммами с одинаковым набором нот, но с началом в разных местах. В Средние века греческая система ладов четко оформилась в серию семинотных «гамм», ноты которых по сути соответствовали белым клавишам фортепиано. Один лад (дорийский) начинался с ре, фригийский с ми и так далее (см. Лады). Таким образом, каждый отдельный лад обладал своей последовательностью высот в «звукоряде». Гиполидийский лад звучит как наша мажорная гамма, а дорийский очень похож на одну из минорных. Остальные звучат определенно «странно для современного уха, если послушать их как гаммы.

Так называемые знаки альтерации – высокий и низкий вариант ноты – изначально были добавлены в систему ладов ситуативно, начиная с си‑бемоль, к которой вскоре присоединилась фа‑диез. Фактически именно это дало начало процессу смещения корневой ноты или, как мы бы сказали сейчас, транспонированию тональности; в результате одну и ту же мелодию можно сыграть или спеть с разной первой ноты. Если вы сыграете восходящую последовательность белых клавиш до, ре, ми, фа, соль на пианино и затем сместите эту же последовательность на начало с фа, то она будет звучать по‑другому, если играть белыми клавишами: фа, соль, ля, си, до. Неправильной будет четвертая нота си, потому что в изначальной последовательности использовались шаги тон‑тон‑полутон‑тон, а в смещенной последовательности они располагаются тон‑тон‑тон‑полутон. Чтобы сохранить мелодию, мы должны понизить си на полутон и превратить ее в си‑бемоль (Рис. 3.14). Добавляя знаки альтерации в оригинальную гамму, мы к тому же делаем возможным музыкальный процесс модуляции, то есть плавного перехода из одной тональности в другую. Рождественский гимн «We Three Kings» («Мы – три царя»), например, переходит из тональности ми минор в куплете в соль мажор в припеве. Модуляция стала основным признаком западной музыки начиная со времен барокко. Она является ключевым элементом, например, организованной схемы сонаты, где вступительная тема или «сюжет» повторяется в разных (но связанных между собой) тональностях.

Транспонирование и модуляция продиктовали необходимость появления нового звукоряда. Если смещение происходит за один шаг (вверх или вниз) в цепочке квинт, то нужна только одна новая нота: мажорная гамма соль включает только одну ноту (фа‑диез), которая не встречается в мажорной гамме до, как и фа мажор (си‑бемоль). С этими дополнениями все ноты в пифагоровом строе гаммы соль и фа мажор имеют одинаковое соотношение высот тона, как соответствующи ноты в до мажор. Приспособиться довольно легко. Но к началу эпохи Возрождения композиторы принялись экспериментировать с новыми тональностями, а точнее – стали использовать больше знаков альтерации, так как концепция тональности в ее нынешнем виде находилась еще в зачаточном состоянии. К четырнадцатому веку некоторые из этих экспериментов с хроматизмом были, если смотреть с точки зрения современных стандартов, весьма свободными. Иногда музыканты ставили альтерации не в соответствии с жесткой нотацией гаммы, а «causa pulchritudinis» («ради красоты») – они просто считали, что так мелодия звучит лучше. Некоторые из альтераций превратились в устойчивые формулы, подчас их даже не включали в партитуру: ожидалось, что исполнителям известны правила или они способны самостоятельно повышать или понижать ноту в тех местах, где это уместно. В таких композициях, как мадригалы итальянского композитора Карло Джезуальдо (ок. 1560–1613), хроматизм был доведен до такой маньеристической крайности, что для современного слушателя его произведения звучат невероятно странно.

 

Рис. 3.14 Восходящая гамма с до (слева) меняет последовательность шагов высоты тона (тон/полутон) при перемещении (транспонировании) на начальную фа (в середине). Оригинальная последовательность восстанавливается, если понизить четвертую ноту (си) на полутон, превратив ее в си‑бемоль (справа).

 

Новые ноты, рожденные транспонированием и хроматизмом, можно также последовательно добавить в репертуар посредством принципа Пифагора, по которому мы генерировали гаммы соль и фа выше. То есть мы можем продолжить цикл вверх с шагом в чистую квинту, чтобы получить больше диезов, и вниз с таким же шагом, чтобы получить бемоли. Транспонирование мажорной гаммы из соль в ре дает новую ноту: до‑диез. Переход от ре к ля добавляет ноту соль диез и так далее (Рис. 3.15). И снова этому разрастанию нот не видно конца, ведь последовательность не замыкается, когда мы доходим до фа‑диез и соль‑бемоль, и каждая отдельная нота в одном звукоряде отличается по частоте от своего аналога в другом. Несоответствие сохраняется по мере того, как мы переходим в тональность до‑диез, соль‑диез и так далее.

Фактически это означает, что правильно настроить фортепиано по пифагорову строю невозможно. Если настраивать ноты на основании восходящего цикла квинт к фа‑диез, то окажется, что некоторые из них звучат фальшиво, когда на инструменте исполняют произведение в одной из тональностей, полученной после транспонирования вниз: шаги между следующими друг за другом нотами будут не совсем правильными. Несовпадение возникнет не только между фа‑диез и соль‑бемоль – все диезы будут отличаться частотой от эквивалентных им бемолей. Таким образом транспонирование и модуляция устроили беспорядок с настройкой: чем дальше мы уходим от «корневой» тональности, тем хуже звучит музыка. Чтобы избежать этой проблемы, необходима система настройки, которая «закрывается», а не «открывается» при транспонировании; то есть чтобы фа‑диез и соль‑бемоль превратились в одну ноту.

 

Рис. 3.15 Каждое транспонирование гаммы вверх на чистую квинту добавляет одну новую ноту (выделена серым).

 

 

Настройка

 

Первая альтернативная система настройки была рождена другим выявленным дефектом пифагоровой модели. Пифагорейцы видели подлинное «добро» в соседстве нот, частота которых определяется простым соотношением. В Средние века только октавы, квинты и кварты считались созвучиями благостной природы. Но в пятнадцатом веке му<