Число обусловленности квадратной матрицы

Еще одной важной характеристикой матицы является ее число обусловленности. Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений A·x=b, определяемой матрицей A, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений. Чем больше число обусловленности, тем сильнее это воздействие и тем более неустойчив процесс нахождения решения. Число обусловленности связано с нормой матрицы и вычисляется по-разному для каждой из норм:

- cond1(A) – число обусловленности в норме L1;

- cond2(A) - число обусловленности в норме L2;

- conde(A) - число обусловленности в евклидовой норме;

- condi(A) - число обусловленности в ∞ -норме.

Задание 23. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

Обратите внимание на то, матрица A является хорошо обусловленной, а матрица B – плохо обусловленной (две ее строки определяют очень близкие системы уравнений, с точностью до множителя 3). Вторая строка примеров дает формальное определение числа обусловленности как произведения норм исходной и обратной матриц.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k -го порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для вычисления ранга используется функция rank(A).

Задание 24. Реализуйте следующие примеры и проанализируйте полученные результаты:

Система линейных уравнений

Одном из основных вопросов, изучаемых линейной алгеброй, является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида:

a_i1·x₁+a_i2·x₂+…+a_iN·x_N=b_i (1)

В матричном виде СЛАУ записывается в эквивалентном виде:

A·x=b, (2)

где A – матрица коэффициентов СЛАУ размерности N×N, x – вектор неизвестных, b – вектор правых частей уравнений.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрица A является невырожденной, или по-другому, несингулярной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица A не очень велика. С большой матрицей проблем тоже не возникает, если она не очень плохо обусловлена. В MathCAD можно решать СЛАУ как в более наглядной форме (1), так и в более удобной для записи форме (2). Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find (см. лабораторное занятие 4), а для второго – встроенную функцию:

lsolve(A,b) – решение системы линейных уравнений;

Здесь A- матрица коэффициентов системы, b – вектор правых частей.

Задание 25. Используя встроенную функцию lsolve решить СЛАУ, представленную матрицами A и b:

Встроенную функцию допускается применять и при символьном решении СЛАУ. Например:

В некоторых случаях для большей наглядности представления СЛАУ, ее можно решить как систему нелинейных уравнений, применяя численные методы.

Задание 26. Реализуйте следующий пример и проанализируйте полученные результаты:

Внутри оператора Given ставится не обычный знак равно, а булево равенство. Этот знак можно поставить либо используя палитру Булево, либо с помощью сочетания клавиш Ctrl и =. Внутри последнего оператора стоит обычный знак равенства.

Обратите внимание на то, что при численном решении всем неизвестным требуется присвоить начальные значения. Они могут быть произвольными, так как решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно. Сравните результаты, полученные в задании 25 и задании 26.