Последовательности символьных команд

Символьные вычисления допускается проводить с применением цепочек ключевых слов. Для этого ключевые слова, соответствующие последовательным символьным операциям, должны быть введены по очереди с палитры Symbolic (Символы).

Пример 1. Фурье-преобразование, разложение в ряд и расчет:

 

Пример 2. Z-преобразование и разложение на простые дроби

Сохраните полученный результат.

 

Выводы:

1. Символьное преобразование арифметических и алгебраических выражение, а также символьное решения ряда задач математического анализа можно осуществить с помощью панели инструментов Math (Математика) и открываемых с ее помощью палитр Calculator (Арифметика) и Symbolic (Символы)

2. Аналогичные команды есть в меню Symbolics (Символы).

3. Результаты преобразований по желанию пользователя могут быть размещены горизонтально (правее исходного выражения) либо ниже исходного выражения.

4. Команды меню Symbolics (Символы) целесообразно использовать, если требуется «сиюминутно» провести некоторые аналитические действия с выражением и получить ответ в общем виде, не учитывающем текущие значения переменных, входящих в выражение.

Лабораторное занятие 4. Численные методы

Интегрирование и дифференцирование

Интегрирование и дифференцирование – самые простые, с вычислительной точки зрения, операции, реализованные в MathCAD в виде операторов. Тем не менее, если расчеты выполняются с помощью вычислительного процессора, то для эффективного использования MathCAD необходимо хорошо представлять себе особенности численных алгоритмов, действие которых остается для пользователя «за кадром».

Интегрирование

Интегрирование в MathCAD реализовано в виде вычислительного оператора. Допускается вычислять интегралы от скалярных функций в пределах интегрирования, которые должны быть скалярными. Несмотря на то, что пределы интегрирования обязаны быть действительными, подынтегральная функция может иметь и комплексные значения, поэтому и значение интеграла может быть комплексным.

Операторы интегрирования сосредоточены на палитре Calculus (Матанализ). Оператор интегрирования содержит несколько местозаполнителей, в которые нужно ввести нижний и верхний интервалы интегрирования, подынтегральную функцию и переменную интегрирования.

Рис. 29. Оператор интегрирования

Задание 1. Вычислить значение определенного интеграла:

Порядок выполнения задания:

1. Откройте новый документ MathCAD.

2. Введите текстовое поле Задание 1.

3. С помощью панели инструментов Math (Математика) создайте информационную среду для выполнения операций интегрирования: откройте палитры Calculus (Матанализ), Greek (Греческий алфавит), Calculator (Арифметика).

4. С помощью палитры Calculus введите операторопределенного интеграла.

5. Последовательно заполните все местозаполнители.

6. Выделите все выражение целиком синей рамкой, и выполните интегрирование численным методом, нажав клавишу Равно. Результат интегрирования будет равен 2.

7. Сохраните результаты работы в своей папке под именем Интегралы.

Можно вычислять интегралы с одним или обоими бесконечными пределами. Для вычисления этого интеграла можно воспользоваться и символьным методом. Однако символьное интегрирование возможно только для небольшого круга несложных подынтегральных функций.

Подынтегральная функция может зависеть от любого количества переменных. Именно для того, чтобы указать, по какой переменной MathCAD следует вычислять интеграл, и нужно вводить ее имя в соответствующий местозаполнитель. Для численного интегрирования по одной их переменных предварительно следует задать остальные переменные, от которых зависит подынтегральная функция и для которых вы намерены вычислять интеграл. Интегрирование функция двух переменных по разным переменным выглядит так:

Задание 2. Выполните эти операции в MathCAD и сохраните изменения в текущем документе.

Результат численного интегрирования – это не точное, а приближенное значение интеграла, определенное с погрешностью, которая зависит от константы TOL. Чем она меньше, тем с лучшей точностью будет найден интеграл, но и тем больше времени будет затрачено на его расчет. По умолчанию TOL=0.001. Его значение можно изменить, используя вкладку Built-In Variables (Переменные) диалоговое окно Math Options (Параметры), которое вызывается командой Math, Options (Математика, Параметры).

Разработчики MathCAD запрограммировали четыре численных метода интегрирования:

1. Romberg (Ромберга) – для большинства функций, не содержащих особенностей;

2. Adaptive (Адаптивный) –для функций, быстро меняющихся на интервале интегрирования.

3. Infinite Limit (Бесконечный предел) – для интегралов с бесконечными пределами.

4. Singular Endpoint (Точка сходимости) – для интегралов с сингулярностью на конце. Модифицированный алгоритм Ромберга для функций, не определенных на одном или обоих концах интервала интегрирования.

Пользователь имеет возможность выбирать сам алгоритм численного интегрирования. Для этого:

- щелкните правой кнопкой в любом месте на левой части вычисляемого интеграла;

- в появившемся контекстном меню выберите один их четырех численных алгоритмов.

Обратите внимание на то, что в контекстном меню по умолчанию установлен флажок Auto Select (Автоматический выбор). Это означает, что алгоритм определяется системой, исходя из анализа пределов интегрирования и особенностей подынтегральной функции. Как только один из алгоритмов выбран, этот флажок сбрасывается, а избранный алгоритм отмечается точкой на переключателе.

MathCAD позволяет вычислит кратные интегралы. Численное и символьное вычисление кратного интеграла имеет вид:

Задание 3. Выполните эти операции и сохраните результаты в текущем документе.

Если интеграл расходится (равен бесконечности), то вычислительный процессор может выдать сообщение об ошибке (сведения об ошибках приведены в приложении 1).

Рис. 30. Сообщение об ошибке

Тем не менее, символьный процессор справляется с этим интегралом:

Символьный процессор позволяет вычислить интеграл с переменным пределом и неопределенный интеграл:

Дифференцирование

С помощью MathCAD можно вычислить производные скалярных функций любого количества аргументов, от 0-го до 5-го порядка включительно. Функции и аргументы могут быть как действительными, так и комплексными. Невозможно дифференцировать функции только вблизи точек их сингулярности (перегиба).

Вычислительный процессор обеспечивает превосходную точность численного дифференцирования.

Первая производная. Для того чтобы продифференцировать функцию f(x) в некоторой точке достаточно:

1. Определить точку х, в которой будет вычислена производная, например, x:=1.

2. Ввести оператор дифференцирования нажатием кнопки Derivative (Производная) на палитре Calculus (Матанализ) или ввести с клавиатуры вопросительный знак.

3. В появившихся местозаполнителях ввести функцию, зависящую от аргумента х, т.е. f(x), и имя самого аргумента х.

4. Ввести оператор численного или символьного вывода и получить ответ.

Задание 4. Используя операторы численного и символьного дифференцирования, получите следующие результаты:

Сохраните результаты в текущем документе.

Для численного дифференцирования MathCAD применяет довольно сложный алгоритм Риддера, вычисляющий производную с колоссальной точностью до7-8-го знака после запятой.

Производные высших порядков. MathCAD позволяет численно определить производные высших порядков, от нулевого до пятого включительно. Чтобы вычислить производную функции f(x) n-го порядка в точке х, нужно проделать те же самые операции, что и при взятии первой производной, используя на палитре Calculus (Матанализ) команду Nth Derivative (Производная n-го порядка).

Задание 5. Вычислите вторую производную функции, используя численный и символический метод.

Если упростить результат, полученный символьным процессором, то получится то же значение, что и при работе численного процессора. Для этого нужно выделить символьный результат и применить команду Symbolics, Simplify (Символы, Упростить):

Чтобы вычислить производную порядка выше 5-го, следует последовательно применить несколько раз оператор n-й производной подобно тому, как вводились операторы кратного интегрирования. Символьный процессор умеет считать производные порядка выше 5-го. Например:

Если упростить последнее выражение, то можно получить численный результат:

Сохраните изменения в текущем документе.

Частные производные. С помощью обоих процессоров MathCAD можно вычислять производные функций любого количества аргументов. В этом случае, как известно, производные по разным аргументам называются частными. Для вычисления частных производных используются те же команды, что и для обычных производных.

Задание 6. Откройте новый документ и определите частные производные функции численным и символьным методом, выполнив следующие операции:

Сохраните документ в своей папке, используя короткое имя.

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков.

Задание 7. Откройте новый документ и вычислите вторую частную производную функции, выполнив следующие операции:

1. Запишите пользовательскую функцию:

2. Вызовите оператор производной n-го порядка. Запишите оператор дифференцирования в форме частной производной, выполнив следующие шаги:

- вызовите контекстное меню, щелкнув правой кнопкой в области оператора;

- в контекстном меню выберите пункт View Derivative As (Показать производную как);

- в появившемся меню выберите пункт Partial Derivative (Частная производная).

3. Вычислите вторую частную производную символьным методом:

4. Введите значения для переменных и получите значения второй частной производной численным методом:

 

5. Сохраните документ в своей папке.

6. Убедитесь, что упрощение выражения для частной производной, полученной символьным методом при тех же значениях переменных, дает такой же численный результат.