Разложение в ряд (Expand to Series)

С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=0, т.е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+… Здесь а_i – некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке х=0 особенность, то соответствующее разложение называют рядом Лорана.

Задание 13. разложить в ряд Тейлора выражение

Порядок выполнения задания:

1. Введите текстовую область Задание13.

2. Введите выражение и выделите переменную, по которой требуется получить разложение в ряд, например, х.

3. Выполните команду Symbolics, Variable, Expand to Series (Символы, Переменные, Разложить на составляющие).

4. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation), например, 6, и нажмите кнопку ОК.

5. Сравните полученный результат с выражением:

6. Сохраните изменения в текущем документе.

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного выводы, используется ключевое слово series палитры Symbolic (Символы). После ключевого слова через запятую указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации. Несколько примеров такого разложения приведено ниже:

2.3. Интегральные преобразования

Интегральные преобразования, по определению, ставят в соответствие некоторой функции f(x) другую функцию от другого аргумента F(w). Причем это соответствие f(x) gF(w) задается интегральной зависимостью. Символьный процессор MathCAD позволяет осуществить три вида интегральных преобразований функции: преобразование Фурье, Лапласа и Z-преобразование. Наряду с прямыми преобразованиями, имеется возможность совершать любые из этих трех обратные преобразования, т.е. F(w) g f(x). Выполняются эти преобразования аналогично уже рассмотренным операциям. Для вычисления преобразования выражения выделяется переменная, по которой будет осуществляться преобразование, и выполняется соответствующая команда меню. Преобразование с применением оператора символьного вывода выполняются с одним из соответствующих ключевых слов, с указанием имени нужной переменной.

Преобразование Фурье представляет функцию f(x) в виде интеграла по гармоническим функциям, называемого интегралом Фурье:

Задание 14. Получить преобразование Фурье для функции cos(x), выполнив следующие операции:

1. Введите текстовую область Задание14.

2. Введите исходную функцию и выделите переменную х.

3. Выполните команду Symbolics, Transform, Fourier (Символы, Преобразование, Фурье).

4. Результаты преобразования будут иметь вид:

5. Сохраните результаты в текущем документе.

Результаты преобразования функций с помощью ключевых слов имеют вид:

Обратное преобразование Фурье для последней функции имеет вид:

Преобразованием Лапласа называют интеграл от f(x) следующего вида:

Z-преобразование функции f(x) определяется через бесконечную сумму следующего вида:

Задание 15. Самостоятельно получите прямые и обратные преобразования Лапласа и Z-преобразования от функции x²+4 с помощью меню и ключевых слов.

Результаты должны иметь следующий вид:

Сохраните изменения в текущем документе.