По конкретной проблеме и нашей физической интуиции.

A2.3

Числа: практические советы и ноу-хау

Важным преимуществом подхода аналитического сигнала является то, что его можно легко реализовать.

Численно. Здесь мы указываем на основные этапы вычислений.

Вычисление HT в частотной области

Самый простой способ вычислить HT - выполнить быстрое преобразование Фурье (БПФ)

исходный временной ряд, сдвиньте фазу каждой частотной составляющей на −π / 2 и

Применить обратное БПФ. 2 Следует использовать нулевое заполнение, чтобы продолжительность отсчета времени

Серия, подходящая для БПФ. Для уменьшения граничных эффектов рекомендуется исключить

Около десяти характерных периодов в начале и в конце сигнала. Такой

Вычисление с двойной точностью позволяет получить HT с точностью

около 1%. (Точность оценивалась путем вычисления дисперсии s (t) + H 2 (s (t)),

где H 2 означает, что HT проводилась дважды; теоретически s (t) + H 2 (s (t)) ≡ 0.)

Вычисление HT во временной области

Численно это можно сделать путем свертки экспериментальных данных с предварительным

вычисленная характеристика фильтра (преобразователь Гильберта) [Rabiner and Gold 1975;

Сдвиг фазы можно удобно реализовать, поменяв местами мнимую и действительную части

преобразование Фурье: Re (ω i) → tmp, Im (ω i) → Re (ω i), − tmp → Im (ω i), где tmp -

Некоторая фиктивная переменная.

Стр. Решебника 389

A2.3 Числа: практические советы и ноу-хау

367

Little and Shure 1992; Смит и Мерсеро 1992]. Такие фильтры реализованы,

например, в программных пакетах MATLAB [Little and Shure 1992] и RLAB (общедоступный

домен, URL: http://rlab.sourceforge.net). Хотя HT требует вычислений на

Бесконечный масштаб времени (т. е. преобразователь Гильберта представляет собой бесконечный импульсный отклик

фильтр), приемлемая точность около 1% может быть получена с 256-точечным фильтром.

Характерная черта. Частота дискретизации должна быть выбрана так, чтобы было не менее 20 точек на

Характерный период колебаний. В процессе вычисления свертки

L / 2 точки теряются на обоих концах временного ряда, где L - длина

Трансформатор.

0

4

8

S (t)

–4

0

4

С H

(т)

0

2

4

Время (с)

–7

–3

1

5

С H

(т)

–2

2

6

10

S (t)

а)

(б)

(c)

1

2

Рисунок А2.5. ЭКГ человека (а), ее преобразование Гильберта (б) и ЭКГ по сравнению с ее преобразованием Гильберта

преобразовать (c). Определение фазы зависит от выбора начала координат в

(s, s H) плоскость; два разумных варианта показаны в (c) двумя стрелками.

Стр. Решебника 390

368

Приложение А2

Вычисление и развертывание фазы

Удобный способ вычисления фазы - использовать функции DATAN2 (s H, s)

(FORTRAN) или atan2 (s H, s) (C), которые дают циклическую фазу в интервале [ −π, π ]. В

Разность фаз двух сигналов s 1 (t) и s 2 (t) может быть получена через HT как

φ 1 (t) - φ 2 (t) = загар

− 1

S H, 1 (t) s 2 (t) - s 1 (t) s H, 2 (t)

s 1 (t) s 2 (t) + s H, 1 (t) s H, 2 (t)

.

(A2.7)

Для обнаружения синхронизации обычно необходимо использовать фазу, которая

определяется не на окружности, а на всей вещественной прямой (т.е. изменяется от −∞ до ∞).

Для этого фазу (или разность фаз) можно развернуть, отслеживая

≈ 2 π скачоквовремени φ (t).

Чувствительность к низкочастотным трендам

Мы уже обсуждали тот факт, что фаза хорошо определена, только если траектория

Теории в (s, s H) -плоскости всегда обходят начало координат, а s и s H не обращаются в нуль.

одновременно. Это может быть нарушено, если сигнал содержит низкочастотные тренды, например,

Из-за дрейфа нулевого уровня измерительной аппаратуры. В результате некоторые петли

которые не охватывают начало координат, не будут считаться циклом, и 2 π будетпотеряно в

Общее увеличение фазы. Чтобы проиллюстрировать это, мы добавляем искусственный тренд на ЭКГ.

сигнал; вложение этого сигнала в координаты s, s H показано на рис. П2.6, как

по сравнению с тем же представлением исходных данных на рис. П2.5. Очевидно, что

начало координат, обозначенное на рис. A2.5 первой стрелкой, было бы неправильным выбором в этом случае.

–4

0

4

8

12

S (t)

–7

–3

1

5

9

С H

(т)

Рисунок А2.6. An

Иллюстрация чувствительности

преобразования Гильберта к

Низкочастотные тренды.

Стр. Решебника 391

А2.4 Вычисление мгновенной частоты

369

Чтобы избежать этих проблем, мы рекомендуем всегда строить график зависимости сигнала от его HT и

Проверка правильности выбора происхождения.

A2.4

Вычисление мгновенной частоты

Частота непрерывного сигнала

Оценка мгновенной частоты сигнала ω (t) довольно громоздка. В

прямой подход, т. е. численное дифференцирование φ (t), естественным образом приводит к очень большим

0

500

1000

1500

Время (с)

0,2

0,3

0,4

F (Гц)

0

25

50

75

100

Время (с)

Дыхательный поток

а)

(б)

Рисунок A2.7. Мгновенная частота дыхания человека. Сам сигнал

представлены в (а). На (б) жирной линией показана частота, соответствующая