Существует мультистабильность по y , т. е. одна траектория x ( t ) может вызвать две (или более) устойчивые

ответы y (t). Другая проблема состоит в том, что устойчивость по y может гарантировать существование

Функция H, но не ее гладкость. На самом деле функция H может быть фрактальной.

Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим в качестве примера одномерную 3 управляемую систему

с отрицательным показателем Ляпунова λ y. Затем, вслед за Паоли и соавт. [1989b], мы ком-

Разделите ляпуновские размерности 4 аттрактора в управляющем и составленном (управляющем

И ведомые) системы; обозначим их как D

(L)

Икс

И D

(L)

Xy соответственно. Для гладкого

Соотношение между y и x, размер составной системы должен быть таким же

Как вождения; если D

(L)

ху > D

(L)

X, то отношение не гладкое. Поскольку

связь однонаправленная, показатели Ляпунова λ j движущей системы не равны

Находится под воздействием ведомого, следовательно, D xy не может быть меньше D x. Ляпунов

Размерность определяется формулой Каплана и Йорка [1979]

D (L)

Икс

= D +

1

| λ D + 1 |

D

∑

j = 1

λ j,

(15.12)

Где показатели Ляпунова отсортированы по убыванию, а целая часть D

Измерения определяется как наибольшее целое число, такое что

D

∑

j = 1

λ j > 0.

Для составной системы размерность определяется показателями λ j и λ y.

Поскольку в (15.12) фигурируют только первые D + 1 показатели Ляпунова, если λ y < λ D + 1

Затем D

(L)

xy = D

(L)

х. Предположим теперь, что λ D > λ y > λ D + 1

Потом

D (L)

ху = D +

1

| λ y |

D

∑

j = 1

λ j > D (L)

Х.

Размерность увеличивается еще больше, если λ D < λ y. Это увеличение размера

Через вождение означает, что реакция y не является гладкой функцией x, в противном случае

Размерность не увеличивается. Таким образом, обобщенная синхронизация с плавным

Соотношение (15.11) может быть соблюдено только в том случае, если устойчивость ведомой системы достаточно

Сильный.

В частности, из приведенных выше рассуждений следует, что при хаотическом движении

система - одномерная карта (например, палатка или логистическая карта), функция H

Легко видеть, что это же соображение справедливо для произвольного размера ведомого

Система.

4 Обсуждение ляпуновской размерности можно найти, например, в [Schuster 1988; Отт 1992].

Стр. Решебника 371

Синхронизация хаотических колебаний хаотическим воздействием

349

Всегда фрактал. Действительно, одномерное отображение можно рассматривать как предельный случай

Двумерного отображения, отрицательный показатель Ляпунова которого стремится к

−∞. Таким образом, это отображение имеет показатели Ляпунова λ 1, −∞. Длясоставнойсистемы

Формула Каплана – Йорка дает D

(L)

xy = min (2, 1 + λ 1 / | λ y |), где λ y - максимальное

Показатель управляемой системы; и это измерение всегда больше единицы. Следовательно,

Для нетривиального перехода между гладкими и негладкими функциями H необходимо

Рассмотреть хотя бы двумерную хаотическую карту движения.

Гладкая и негладкая обобщенная синхронизация: пример

Функция H может быть фрактальной даже в простом случае, когда подсистема (15.10)

- одномерная система с линейным приводом

y (t + 1) = γ y (t) + q (x (t)).

(15.13)

Отклик устойчив (т. Е. Выполняется (15.11)), если | γ | <1; дляопределенностиполагаем

γ > 0.

Подробное исследование этой проблемы для обобщенного отображения Пекаря (см.

Уравнение (15.16) ниже) в качестве привода и линейную карту типа (15.13) в качестве ответа

выполненный Paoli et al. [1989a]. Они проанализировали спектр особенностей

ответ (так называемый f (α) - спектр) иописалегометаморфозы, когда

постоянная времени ведомой системы γ изменяется. Е (α) - спектрявляетсяЛежандром

преобразование обобщенных размерностей (подробнее см. [Badii and Politi 1997]). Из

результаты Paoli et al. [1989a] следует, что малые значения γ невлияютна

размеры. Когда γ растетистановитсябольше, чемнаименьшаяскоростьсокращения

Карты пекаря, некоторые обобщенные размеры ответа отличаются от

вождение. Это указывает на негладкость функции H. При больших γ все

Размеры меняются.

Ниже мы описываем упрощенную версию анализа Paoli et al. [1989a],

после Hunt et al. [1997]. Начнем с итераций (15.13)

у (т + 1) = д (х (т)) + у у (т)

= q [ f − 1 (x (t + 1))] + γ { γ y (t - 1) + q [ f − 2 (x (t + 1))]} = ···

чтобы получить формальное выражение для функции H, связывающей y (t + 1) и x (t + 1):

H (х) =

∞

∑

j = 1

γ j − 1 q (f - j (x)).

(15.14)

Ясно, что эта функция существует, если γ <1 ивынуждающаяфункция q ограничена. Проверить

Гладкости, продифференцируем (15.14) и получим

∇ H =

∞

∑

j = 1

γ j − 1 J [ f - j (x)] ∇ q (f - j (x)),

(15.15)

Где J - якобиан. Достаточное условие того, что производные в точке x равны

Существует сходимость ряда (15.15), которая будет обеспечена, если значения

Стр. Решебника 372

350