Несоответствие). Это также помогает добавить небольшой шум, который, конечно, должен быть другим для

Обе системы.

За порогом синхронизации ε > ε c

Дивергенция при w → 0 означаетполнуюсинхронизацию (такчтофактически

распределение является сингулярной δ - функцией) ивидеальносимметричнойсистемене льзя

Соблюдайте степенное распределение (13.25) для больших связей. Однако дистрибутив

ция (13.25) будет соблюдаться, если нарушена идеальная симметрия взаимодействующих систем:

Из-за одного из следующих факторов.

(i) Неидентификационные данные. Если взаимодействующие системы немного отличаются, идеально

Синхронизация невозможна. Предположим, что две немного разные карты

Взаимодействуя, так что вместо (13.4) запишем

Стр. Решебника 335

Начало синхронизации: статистическая теория

313

[ х (t + 1)

у (т + 1)

] = [1 - ε

ε

ε

1 - ε

] [ f 1 (x (t))

f 2 (y (t))]

Знак равно

(1 - ε) f 1 (x (t)) + ε f 2 (y (t))

ε f 1 (x (t)) + (1 - ε) f 2 (y (t))]

.

(13,26)

Теперь для переменных (13.6) получаем

U (t + 1) = 1

2

[ f 1 (U (t) + V (t)) + f 2 (U (t) - V (t))],

(13,27)

V (t + 1) =

1 - 2 ε

2

[ f 1 (U (t) + V (t)) - f 2 (U (t) - V (t))].

(13,28)

Симметричное состояние V = 0 больше не является решением этих уравнений, но для

Небольшое несоответствие, мы можем ожидать, что V будет небольшим. Более того, мы пренебрегаем

Влияние малого v на динамику переменной U и рассмотрим только

Второе уравнение (уравнение (13.28)), которое при малых v можно переписать как

v (t + 1) =

(1 - 2 ε)

2

[(f ′ 1 (U) + f ′ 2 (U)) v + (f 1 (U) - f 2 (U))].

(13.29)

Основное отличие от чисто симметричного случая (Ур. (13.10) - последняя

Неоднородный член на правой стороне. Он пропорционален рассогласованию, и мы

будем считать, что этот хаотический член имеет порядок δ ≪ 1. Тогдадинамика

Качественно можно представить следующим образом. Если разница между

состояний системы v больше, чем δ, неоднородныйчленневажени

У нас есть чистая динамика случайных блужданий, описываемая формулой. (13.18). Если разница

имеет порядок δ, тонеоднородныйчлендействуеткакслучайнаясилаипрепятствует

v не станет меньше δ. Дляслучайногоблужданияпеременной z это может

можно описать как наличие отражающей границы при z ≈ ln δ. Стаким

границы случайное блуждание происходит в области z > ln δ дажеприотрицательных

смещений λ ⊥ <0. Это означает, что всплески v также наблюдаются в

Синхронизированное состояние с отрицательным поперечным показателем Ляпунова. В другом

Словами, синхронизированный хаос, кажется, чрезвычайно чувствителен к

Возмущения: даже небольшое рассогласование может привести к большим всплескам.

(ii) Шум. Тот же эффект, что и неидентичность, вызывает небольшой

Шум, воздействующий на сопряженные отображения: он производит небольшие поперечные

Возмущения, даже если полностью синхронизированное состояние стабильно. Таким образом, тот же

оценки, указанные выше, действительны, а δ - уровеньшума.

Эти факторы приводят к более низкому обрезанию плотности вероятности при w min, где

w min примерно соответствует уровню неоднородности и / или шума. Существование

Степенной хвост для стационарного распределения означает, что вероятность наблюдения

Большие отклонения от полностью синхронного состояния относительно велики (по сравнению, скажем, с

Распределение Гаусса, где большие отклонения имеют экспоненциально малую вероятность).

Это еще одно проявление чувствительности к возмущениям; эта чувствительность приводит к

Стр. Решебника 336

314

Полная синхронизация I

Довольно большой спорадический ответ. В разделе 13.4 мы увидим, что эта чувствительность

Связанной с нетривиальной топологической структурой аттрактора и его бассейна в фазе

Космос.

Пример: сдвоенные карты наклонных палаток.

Мы видим, что статистика переменной z связана со статистикой колебаний

Локальных показателей Ляпунова, которые описываются масштабной функцией s ().

Мы проиллюстрируем изложенную выше теорию с помощью карты косого тента (13.5). Поскольку инвариант

Плотность вероятности для карты косой палатки (13.5) однородна в интервале (0, 1), и

Посещения регионов (0, a) и (a, 1) некоррелированы, получаем

| ln f ′ | знак равно

- в

С вероятностью a,

- ln (1 - а)

С вероятностью (1 - а).

Следовательно, показатель Ляпунова равен

λ = - a ln a - (1 - a) ln (1 - a).

(13.30)

Таким образом, мы получаем случайное блуждание с двумя типами шагов:

- ln a - λ

С вероятностью a,

- ln (1 - a) - λ

С вероятностью (1 - а).

Распределение p (·, T) тогда является биномиальным распределением. Если обозначить количество

итераций с U < a как n, и положим h = n / T, затем из биномиального распределения

р (п, Т) =

Т!

п! (Т - п)!

А п (1 - а) т - п

И из отношения

Знак равно

п

Т (- ln a) +

Т - п

Т (- ln (1 - a)) - λ,

В силу формулы Стирлинга получаем масштабную функцию s () в параметрической

форма:

s (h) = h ln

а

h + (1 - h) ln1 - а

Ч

,

(h) = - h ln a - (1 - h) ln (1 - a) - λ.

Легко проверить, что эта функция масштабирования (рис. 13.4а) имеет единственный максимум при

Нуль.

Используя основную формулу (13.24), мы можем представить показатель κ ипоперечный

Показатель Ляпунова λ ⊥ в параметрической форме как функции h:

κ =

Ds

d

Знак равно

Ds / dh

d / dh = ln (

Ч

H) / ln (1 - а

А) - 1,

λ ⊥ = - (h) + s (h) / κ.

Стр. Решебника 337